LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Soit, par exemple,

, , r Le'

on aura

et par conséquent

I fo" Ao" A-o" ■ , A'-o" "1

En comparant ce résultat avec le développement bien connu, on voit que l'expression (5) est nulle si n est impair, et que si n est pair, le facteur entre parenthèses représente le n'''"' nombre de Bernoulli.

346. Nous ne terminerons pas cette indication rapide de l'emploi des notations symboliques sans rapporter une démonstration remarquable de la série de Taylor.

Posons

©(x + A) — 'f (:c) = ADcp(.r), et par suite

(j;(a: + /0 = (i + /iD)(p(^),

En posant nh = a, on aura

Si l'on suppose h infiniment petit et n infini, (i 4- AD)''= e , et le signe D devient équivalent dans cette hypothèse au signe -r^; on a donc

ce qui est précisément l'expression symbolique du théorème de Taylor. Digression sur les Nombres de Bernoulli.

347. Nous avons rencontré à l'occasion de plusieurs développements une suite de nombres connus sous le nom de Nombres de Bernoulli et dont nous indiquerons ici quelques-unes des propriétés les plus importantes. On a

1 2 1.2 1.23.4 I . 2 . 3 . 4 • iî • O

3i8 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Multiplions membre à membre cette équation par la suivante

Le produit des premiers membres étant égal à a:, il doit en être de même de celui des seconds membres et par conséquent les coefficients de toutes les autres pui'ssances de la variable sont égaux à zéro ; on en conclut