LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Or on a

Si l'on développe le second membre en série ordonnée suivant les puissances de X, ^{o) sera le produit du coefficient de x^, par i . 7. 3. . .^. Or on a

En multipliant ces deux équations, on obtiendra le développement de ■ ^__ ? et le coefficient de x^ est, si/? est pair,

nïifj

nP+' 1 nP B, /?/-' Bj tiP-

i.2.3...(/^+i) 2 1.2.3.../? 1.2 i.'?....{p — i) 1.2.3.4 1.2... (/? — 3) '" r.2.3...jp et si/? est impair,

nP+' 1 . nP B, nP-' ^ 2 n^

On a par conséquent, si/? est pair,

np-i-* i B

I + ?/+ 3/'-j- . . . + ( n — 'i )P = n''-\ pnP-'

^' /?(/?— i)(/?-2)nf-' + ...=t:nB

et si /? est impair,

fiP+i I B 14-2/"+ 3/'+. . .H-(n — 1)''= nP-\ nnP-'

-^^pip^,)nP-^-^... +B^/,.'^

On trouve ainsi

.^,«+3'4-... + (/.-iV=5----l-3-3^",

1 +2^4-3^4-.- '-\-{n — tY^-r 1 »

I H-2«4-3''-|-.. .-h{n~iY— \ -. -h j- n.