La somme

que nous nommerons (pp.(n), est un polynôme entier de degré (/?-(- i) en n, qui jouit de plusieurs propriétés remarquables.

On peut exprimer <pp{n) en fonction de In — - J» il ne contiendra alors que des

puissances paires, siyoest impair, et des puissances impaires, si/? est pair. ({)p{ri) est en effet, à un facteur numérique près, le coefficient de x^ dans le développement de

Si nous désignons cette fonction par ^{oo), le développement de la fonction ^( — ^) que l'on obtient en changeant ^ en — x, ne diffère de celui de <i^{oo) que par le signe des termes de degré impair. Si donc/? est impair, le coefficient de x^ est le même que dans le développement de la fonction

.^j Jt j" — In — - 1^ -

(n ]jc — I n );

Or cette fonction ne change pas si l'on y remplace n — ~ par — In — -], \e coefficient de œP dans son développement suivant les puissances de x, est donc une fonction paire àe n — --

Lorsque p est pair, le coefficient de xp dans le développement de <\i [x) est le même que dans le développement de la fonction

et comme la partie variable de cette fonction change de signe sans changer de valeur quand on y remplace w — ^ par — ^w iVil en est de même de tous les coel ficients de son développement suivant les puissances de x.