LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
Il est donc prouvé que (fp{n) est une fonction paire de n - ^, lorsque p est impair, et qu'il est une fonction impaire, lorsque/? est pair.
350. Si dans la fonction ?p (/i) on fait n = '-, on a, lorsque p est pair, et lorsque /? est impair.
Pour le démontrer, rappelons de nouveau que (pp{n) est le produit par i.2...p, du coefficient de xP dans le développement de
'/ ( -) est donc le coefficient de ^ ^^^[ ^ans le développement de
Or on a
Mais
- — = x\ -^— \==~xV--^^7rA~^l "I.-.3.4VW
^i ^ |e^ — ij ^\ 2 1.2 1.2.J.4
en retranchant l'un de l'autre ces deux développements, on formera celui de
î:-:!^, et l'on verra que le coefficient de —f— est nul si p est pair, et égal à
si/) est impair. C'est précisément le résultat que nous av
ions annoncé.
351. Les fonctions (^p{n) et <pp, {n) peuvent se déduire l'une de l'autre par la diftérentiation, mais la forme de la relation n'est pas la même lorsque/? est pair et lorsqu'il est impair; on a les deux formules suivantes :
dn -(^Z^ + OM/^), Pour démontrer ces formules, considérons l'équation
e., =/'+-r?,(«) + — ^.{n) +. . .+ -— - r^^in,
En différentiant les deux membres par rapport à n, on a
^-^^ =i-^ar^-h~^-h +— ^i— ^
^— I dn 1.2 dn i.2.3...pdn
Mais on a identiquement
xe"^ e"'' — 1 jf r x^ ■ xP "1
et en identifiant ces deux développements qui représentent la même fonction, on obtient les deux formules
dn
■2p^,p,[n}.-hi—j)P-'Bp.
—j- ^^^,^,^,t^.-^^ — ,^r .jj^
352. Les formules précédentes permettent de démontrer un théorème important : Lorsque n varie entre les limites o et i, la fonction (p.2p{n) change une fois de signe
en s' annulant pour n = -, et la fonction 92/7+1 («) conserve toujours le même signe.
Remarquons d'abord que cpp{n) est toujours nulle pour les valeurs extrêmes /i=o, /^ = I ; en effet, la fonction
se réduit à l'unité pour « = i, et à zéro pour n = o, les coefficients des diver termes de son développement sont donc nuls dans ces deux hypothèses. Cela posé, considérons d'abord la fonction
