LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

lorsque n varie de oà i, cette fonction reste toujours négative^ et son maximum,

correspondant à /i = -? est

Considérons ensuite

On a

(l<iAn\

dn Ci

©, (n) variant de o à — tt^ puis de — rr à o, lorsque n varie de o à -■> puis de - à i,

"^^ ; passe de 7T à ^ — 7 ou ^î et de «* + 73' elle est donc nulle deux fois

an ^ 604 ï2 12 b

seulement dans cet intervalle, et par suite l'équation c^^in) = o ne peut avoir dans

le même intervalle que trois racines, qui sont /z = o, /i=-,/?=i.

Démontrons maintenant le théorème général. Admettons pour cela que la fonction 02p-i [n] satisfasse à la condition énoncée, c'est-à-dire qu'elle reste toujours de

même signe lorsque w varie de o à i, et que le maximum corresponde à la valeur -7

la fonction croissant d'une manière continue lorsque n varie de oà -? et décroissant

ensuite lorsqu'il passe de - à l'unité, de telle sorte que la courbe qui a pour équation

ait la forme suivante

Cela posé, nous avons

dn

2/> y,^,( rt) -h (—.)/--' B,..

Il est évident que cette dérivée, d'après la forme de la fonction '^2p, (n), ne peut s'annuler que deux fois entre les limites « = o, /i = i, et par suite la fonction 'Yi,,(n) étant nulle aux deux limites ne peut pas avoir plus d'une racine intermédiaire.

Cette racine est, comme on l'a vu, n = -•. la fonction, nulle pour n=o, n = - el

35 i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Ai = t, étant (349) une fonction impaire de n — -, change de signe pourn =,-,

et la courbe dont elle est l'ordonnée a la forme suivante

présentant un seul maximum entre n = o,n =-, etun seul entre n