LIVRE SECOND. -DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

à les étudier de nouveau et à les utiliser plusieurs fois dans la suite de cet ouvrage. En considérant i — ixz + z"" comme un binôme

1 Zi-ÏX — z

la formule de Newton donne

{i — ixz-^z')~'=i-\--z{'i.x — z)^-^z-'{'i.x — zY^....

En développant les puissances indiquées, on trouve pour le coefficient X„ de z\ i.3.5...(2«— i) r /i(Ai— i) ., ri{n—i){n — i){n — ?,)^^^ "1

^''= 1.2.3. ..« r'~2(2Ai-l)^ "^ 2.4.(2/1 — l)(2/l — 3) ■■]

Si l'on fait successivement n = o, «= i , /i= 2,..., on aura les valeurs suivantes

Xi = .^,

355. Le théorème de Lagrange nous a conduits (315) à une expression de la fonction X, dans laquelle on peut facilement transformer celle que nous venons

d'obtenir.

Remarquons d'abord que l'on a, quel que soit le nombre entier n,

il suffit, pour le démontrer, de remarquer que le changement de w et /i+ i , introduit, toutes réductions faites, les mêmes facteurs dans les deux membres, et que l'égalité se vérifie aisément pour les premières valeurs de n.

D'après cela, le terme général de l'expression de X„ (354) est égal à

' ' T, ■ ~, 7 " - - ^•n—'ltii

(jue l'on peut écrire, en supprimant les facteurs communs,

c'est-à -dire

in — 2/n

2''(i.2.3...w) 1.2.3... m dx'' '

et X„ est la n''"'"' dérivée de

2" M. 2, 3... Ilj ^

c'est-à dire que l'on a enfin

2" . 1 . 2 . 3 . . . /i dx"

ce qui est l'expression déjà obtenue (315) et donnée pour la première fois par 0. Rodrigues.