L'équation

a toutes ses racines réelles et comprises entre o et 1 . C'est là un théorème important, dont la démonstration résulte de l'expression précédente de X„. On sait en effet que lorsqu'une équation a toutes ses racines réelles, sa dérivée les a également réelles et toutes comprises entre la plus grande et la plus petite racine de la proposée. Or l'équation

a évidemment in racines réelles, savoir n égales à — i , et n égales à h- i; les dérivées successives ont donc toutes leurs racines réelles et comprises entre — i et -4- r, et comme X„ est, à un facteur près, l'une de ces dérivées, le théorème se trouve démontré.

357. Nous donnerons enfin une équation différentielle du second ordre, à laquelle satisfait la fonction X„, et qui, sans la caractériser complètement, a été souvent utilisée dans l'étude de ses propriétés.