LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Pour obtenir cette équation, posons

* U = {l — 2XZ -\- Z') \

on en conclut

dx ~

-1XZ + z')'

dx-"

dHi

dz~

- 1XZ -{- z'^y

dz' ~~

(le là résulte

^ ' dx'

^' dz-

du dz

(l — 1XZ +z')'

(i — ixz + z'Y {\. — o.xz-^z'^)

(1 — '2.XZ + Z^)'

(l — 2.XZ -{-z')'

et par conséquent,

c'est-à-dire

., d^u du d'^u du

dx' dx dz' dz

d . 2\^|il 2^

dx dx dz dz

Si dans cette équation on remplace u par sa valeur,

M = I +X,2 -f-XjZ'-l-. . .+ X„Z"+. . . ,

en égalant à zéro le coefficient de z", on aura

-^ hn (n4-i)X„ = o,

c'est-à-dire

i^-^r')-^-.x-^+nin + i)X.=o.

358. Nous ferons connaître, pour terminer cette digression, une relation simple qui lie trois fonctions consécutives X,,, X„^,, X„,, et qui a été plusieurs fois utilisée dans l'étude de ces fonctions.

On a par définition

on en déduit, en différentiant par rapport à z,

(2)' — : =x, + 2x,z+.,. + /ix„2"-'+;..,

(i — ixz-^z'^y

et par conséquent, en multipliant les deux membres par \ — 2xz -^ z-,

[x — z)(i — ?..r2 + 2')~' =(i — 2J7Z+^2)(X,+ 9,X,2-|-. . .H-nX„2''-'-t- . . .).

Si dans le premier membre de cette équation on remplace [i — ixz-^-z-)"^ par son développement, et que l'on égale les coefficients de z" dans les deux membres, on trouve

(3) (/i-f-i)X„+, — (2W+ 1 )jrX„H-«X„, =o.

En différentiant l'équation (i) par rapport à x, on trouve, après avoir supprimé le facteur z,

,,. ■ ^X, , dX, ^, f/X„

, ,1 dx dx ' ' ' dx

Cette valeur de {\ — :^xz-\-z^) ' substituée dans l'équation (2) donne, si l'on égale les coefficients de z"~' dans les deux membres,

mais l'équation (4) peut s'écrire

(,.«+..,- =(,...+..,(§+.^+...+..-,îg.+.,.).

En remplaçant le premier membre par son développement, et égalant les coefficients de z" dans les deux membres, on en déduit

( O ) A„ = ' IX — \ -z ,

dx dx dx

et la comparaison des formules (5) et (6) donne

dy^nA-t d \n f

-di 5^=(^'^-*-'^^'"-

On en conclut, en changeant n en n — 1, n — l^,..., et ajoutant les équations ainsi