DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES

Extension du théorème de Taylor a une fonction de deux variables.

391. Lorsque dans une fonction de deux variables ff{x, y), on remplace x par a? + A et j par jH- ^, le résultat de cette substitution (^ [x ->r h, y -\- k) peut être développé en série ordonnée suivant les puissances de A et de /: et leurs produits deux à deux. On peut en effet développer d'abord 9(07 + A, y) en série ordonnée suivant les puissances de h, puis dans le résultat changer j en jh- ^ et développer chacun des coefficients en série ordonnée suivant les puissances de â:; on obtiendra ainsi le développement de (!^{x-^h, y-^-k), et le théorème de Taylor, borné au cas d'une seule variable, permettra d'effectuer tous les calculs. Telle est la marche suivie par Lagrange dans la théorie des fonctions, et dont il déduit aisément l'expression du terme général du développement; mais un artifice imaginé par Cauchy permet de l'obtenir plus rapidement en fournissant en même temps une expression plus simple du reste.

Remplaçons (^ [x -\- h, y ^ k) par (i^[x-\-ht, y-^-kt) et appliquons à cette dernière fonction le théorème de .Maclaurin pour la développer suivant les puissances de t; en faisant dans le résultat /= f, on obtiendra le développement cherché.

En posant

.f(x-|-/i/, y-\-ht) = 'E{t),

on a (273)

Pour calculer les termes de ce développement, formons l'expression générale de F^(0.Ona

Y[t) = fi[x-^ht, y-^kt).

Or, si l'on attribue à t des accroissements successifs égaux entre eux, x-\-ht et y^kt, considérés comme deux variables distinctes, croîtront aussi par degrés égaux, et la formule donnée (162) pour représenter la différentielle /z'^'"^ d'une fonction de deux variables, sera applicable au calcul {\ed"Y(t). Cette formule suppose, en effet, que deux variables quelconques, u et t', reçoivent simultanément des accroissements constants et quelconques du et dv, or, en supposant ici x ^ ht^u,