LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

y-\-kl = v, et prenant du^=.hdl, dv=^kdt, la différentielle dP(s^{u,v) ne différera pas de la différentielle dPY[t) qui répond à l'accroissement dt de la variable/ répété/? fois; on a donc (162) symboliquement

, „ , , ( do j d w , \i'

les produits de la forme

du] \dv J

devant être remplacés après le développement par j-rTp^k'

En divisant par dt^ les deux membres de l'équation (2) et ayant égard à ce que, par hypothèse, du = hdt, dv = kdt, on en déduit

,„, dpy (d'si , d'ii ,

(3) T/7r= [-.r-J^^-rf'

dV \ du dv

la même convention étant faite, bien entendu, sur la signification des puissances des dérivées.

Lorsque dans les dérivées de la fonction (^[u,v) par rapport aux variables m et V, on supposera /=o, elles ne différeront pas évidemment des dérivées correspondantes de (p {3c, y) par rapport à ^ et à j; on a donc enfin

en entendant toujours qu'après le développement du second membre tout produit

tel que^, ^ doit être remplace par^^^^,.

Le facteur F" (5/) qui figure dans le dernier terme de l'équation (i), s'obtiendra aussi à l'aide de la formule (3). Après avoir formé l'expression

^A + ^/f du dv

et effectué dans le résultat les substitutions qui doivent être faites, on devra remplacer dans chaque dérivée, M par 07 4- 5 A?, et (^ par j -h 5 ^^ ; on peut donc écrire symboliquement

X et j devant être remplacés, dans le résultat, par x+Qht, y-i-Skl, qui deviendront

x-\-Oh, y-^Ok, lorsqu'on fera t= i.

392. D'après les explications précédentes, on a, en faisant l— i dans la formule ( I ) du numéro précédent,

\ d.x dr

i.^.S.-./i \dx dy Jx—x-^6h

le dernier terme étant ce que devient le (n -^ i/^'"^ terme de la série, lorsque, après l'avoir régulièrement formé, on y remplace oc par ^ h- ^A et y par r + 0/(, Q étant un nombre plus petit que l'unité.

Lorsque, pour des valeurs croissantes de n, le dernier terme du second membre tend vers zéro, il est permis de remplacer (^{x-hh,y-h k) par une série convergente indéfinie. On peut remarquer que cela aura toujours lieu si, lorsqu'on remplace x par x -^Oh et j parj + Bk, aucune des dérivées de la fonction ne peut devenir infinie. Si, en effet, toutes les dérivées qui figurent dans l'expression du terme complémentaire sont plus petites en valeur absolue qu'un nombre H, ce terme est évidemment moindre que

1 . 2 . 3 . . . /i expression qui tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment.

393. Si, dans le développement que l'on vient de trouver, on remplace h par dx et k par dy, l'ensemble des termes de degré p par rapport à c?^ et à dy représente d^ o, et l'on a

cp(^ + dx, y + dy) = -^{x, y) -hd^-h- r/^cp + — r/-? 4- . . . + ^ ^ 3 ^^ d"-^ +. ■ .,

on voit que l'expression de l'accroissement d'une fonction de deux variables ne diffère pas de celle qui a été trouvée pour l'accroissement d'une fonction d'une seule variable.

Si «^^ et c?7 sont infiniment petits du premier ordre, cbaque terme de ce développement est infiniment petit par rapport au précédent, et l'erreur commise en s'arrêtant à un terme d'ordre n est infiniment petit d'ordre /i + i .

394. Si dans le développement de 9 [x -f- h, y -\- k), on suppose jc et j égaux tous deux à zéro, on obtiendra le développement d'une fonction quelconque de deux variables, (p{h, k) en série ordonnée suivant les puissances des variables A et k, et leurs produits deux à deux. On aura, en remplaçant h eik, (jui sont entièrement arbitraires, par ce et j,

Le terme complémentaire, lorsqu'on s'arrête après le n''""' terme, est ce que devient l'expression

I r d"f , d"'f , iiïti — I J"tp

X" -^ H- nx"-' Y -, hr H x"-^r' , „ / ,