LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Extension de la formule de La grange aux fonctions de deux variables.

397. Soient u^iv deux fonctions des variables x et j, définies par les équations simultanées

Proposons-nous de développer une fonction donnée de w et de c^ en série ordonnée suivant les puissances de x et de j, et leurs produits deux à deux. Soit z = Y[u,v) la fonction donnée, on a (392)

et pour connaître la série qui représente z, il faut calculer les valeurs que prennent les diverses dérivées de 2 par rapport aux variables a; et 7, lorsqu'on) suppose ^ et j égaux à zéro. Pour cela nous ferons usage d'un artifice semblable à celui qui a été employé (311) dans le cas d'une fonction d'une seule variable, et qui consistera ici à exprimer les dérivées par rapport à a? et à 7 en fonction de dérivés par rapport aux variables a et b, dans lesquelles les hypothèses x — o,y = o pourront être introduites avant les opérations et reviendront simplement, comme le montrent les équations ( i ), à faire u = aQiv=b, en sorte que les différentiations s'effectueront ensuite sur des fonctions explicites.

En différentiant les équations (i) par rapport à x, puis par rapport à a, on a

du , , fd'i du , d'if dv\

dv ( d^ du d^ di'\

dx " \du dx dv dx j

du Idta du drD dv

da ' "^ \du da ^ dv da dv [d\ du d^ dv

da - \du da ' dv da

et la forme de ces équations montre, sans qu'il soit nécessaire de les résoudre, que

,, , , , , . , du du dv dv ^ , , •

1 on a entre les dérivées -7-5 -7-» -1-1 -r--, les relations

dx da dx da

du , , du

dv , ^ dv

Tx = ^^''^''^Ta

Si donc z désigne une fonction quelconque de u et de v, on a

dz dz du dz dv

dx du dx dv dx '

dz dz du dz dv

da duda dv da

et, par conséquent,

dz . ■ ^ dz

Tx = '^''^'^Ta

On démontrera de même la relation

L es équations ( 3 ) et (4 ) résolvent, pour les dérivées du premier ordre, le problème que nous avons énoncé; elles font connaître l'expression des dérivées par rapport à .ret àjen fonction des dérivées par rapport à a et à ^>; si l'on y suppose a7=o, y=o, elles donnent, en supposant z = Y[u,\>),

dz\ ,dY[a.h)

dY[a, h)

db ' .

Pour calculer les dérivées d'ordre supérieur, nous ferons usage des relations

,,, ;è[/'-)-tl=.4[/'-'r:]'

qui ont lieu quelle que soit la fonction/fw, v). En effectuant, en effet, les différentiations indiquées dans la première de ces équations, elle devient

dfdu dfdi^\du dUi idfdu df dv\ du „^ ^ d'u

du dx dv dx) da J"^ ' I dadx [du da "^ dv da) dx ^-^^ "' ""' d^a

ce qui, en supprimant les termes communs, se réduit à

du du du dv

dx da dx da^

conséquence évidente des équations {-i).

La seconde des équations ( 5) se vérifie de la même manière.

d^z d d dx^