LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Nous pouvons maintenant transformer les dérivées de la forme —-, ^~- On a ^ ■ dx" dy"

d^ jLfÉl\ —JL[ f ^^^l dx'- dx\dx)~dxl'^^''''''d^y

et par conséquent, d'après la formule (5),

d'z d r ^ .dzl d V , dzl

On en déduit *

d d V '. .dz-] d d r . .dzl d' T . ^dzl d' V , dzl

Txd^l'^''^'^d^rd^-d^\:^^''''^Ta\ = M'^''''^

et l'on trouvera, en suivant la même marche,

dx" da"-' |^^ ' ^ daj on aura de même i A d"z d'-' r,. .dzl

^'^ dr = db^l^^'''''^dby

Si dans ces formules on fait x = o, y=o, elles deviennent, en supposant toujours z= F(m, v),

/d"z\ d"-' r / l^ dFia,b)l

/ d''z \ Il reste à calculer les dérivées de la forme -, — i— ] •

\ dxP dy'i j

On a '

d'z d (dz\ d r rfz"! drsf{u,v)dz . d^z

dj^[u^dz .d\ dzl

par conséquent,

/^\ d"" z d(f{u,v] dz , ^ d-ifiu,v)dz , ^,, d^z

^'^~ se trouve ainsi exprimé en fonction de dérivées prises par rapport à « et à ^,

(Ix dy

et pour y supposer ^ = 0,7=0, il suffît de remplacer, avant les différentiations,

u par a, et v par h.

d" z Considérons actuellement la dérivée -j-fi^' ^" ^ trouve

dPz dP-'

dxf daf-

Il faut prendre q fois la dérivée de cette expression par rapport à y. Or si l'on pose

et ^, = F(m,, (^, ), on aura, d'après ce qui précède,

dz, dzy

et comme, pour 07= o, w, et ^, deviennent, quel que soit y, égaux à m et à t^ et par suite s, à 2, on a

dp-

/dPz

\dxPj ~ daP-

V\dx)\

l'indice zéro qui affecte les dérivées ^, ^. se rapportant à la variable x que

l'on suppose égale à zéro. Les variables a: et j étant indépendantes, il est indifférent de faire l'hypothèse ^= o avant ou après la différentiation par rapport a y, et pour calculer [/,"J \ ; nous pouvons par conséquent différentier ^ fois l'expression (10) par rapport à j, et faire ensuite y = o. On a donc

d'^z \ (//'- d^ \(^hl\ 1 dxP~dp)^~ daP-' dy^ Wdx),\'

Les différentiations par rapport à a; et a /indiquées dans le second membre peuvent être interverties, pourvu que l'hypothèse 0^ = 0 ne soit introduite que dans

le résultat final. Pour calculer en effet ^^^, et y faire ensuite ^ = o, j = o, il est

permis, comme on vient de le remarquer, de différentier par rapport à x et de faire X = o avant d'effectuer les différentiations par rapport à j. On a donc

d"z \ dP~' d /di

dxPdyiJo daP-' dx \dp