LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
X et y devant être supposés nuls dans le second membre après les opérations effectuées.
En appliquant à la fonction z, les résultats généraux obtenus pour la fonction z, on a
Au lieu de différentier cette expression par rapport à a? et de faire dans le résultat .T = o,y = o, il est évidemment permis d'y supposer j = o avant d'effectuer la différentiation; mais si l'on pose
(12) i', = b-hr-^{U;,v.,)i,
«2 et Vo se confondant avec w, et (^, quand on suppose y = o, le produit
dz, lorsqu'on y suppose j= o, peut être remplacé par -r^-, et l'on a enfin
ay
f d"z \ dP-'' d di-' (dzA dP+i-' / d'z, \ \da:P dyi ) o~ daP-' dx dbi-' \dy) "~ daP-'dbi-' \dxdy) '
^2 étant ce qui devient z lorsque m et ^^ sont remplacés par les valeurs w., et v.^ définies par les équations ( 12). Ces équations étant de même forme que la proposée,
, ,' se déduira delà formule (9), dans laquelle ^(w, v) et(|^(M, v) seront respectivement remplacés par 9 [u, vf, ^ [u, çy.
Démonstration de Jacobi.
398. Le résultat précédent obtenu pour la première fois par Laplace a été démontré par Jacobi par des considérations analogues à celles qui ont été exposées (314).
La démonstration de Jacobi repose sur l'identification de deux développements d'une même fonction. Cette identification, ainsi qu'on l'a déjà dit, n'est pas permise sans restriction et suppose des conditions à l'examen desquelles l'illustre auteur ne s'est pas appliqué. La démonstration que nous allons faire connaître laisse donc, malgré sa grande élégance, beaucoup à désirer du côté de la rigueur.
Jacobi remarque d'abord que/(^, /) et (^[oc,y) étant deux fonctions de x et de j
i04 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
(léveloppables suivant les puissances positives ou négatives des variables, l'expression
^ ' dx df dy dx
qu'il a nommée (71) le déterminant du système des deux fonctions, ne contient jamais dans son développement de terme en — • On a, en effet,
dx dy dy dx dy \ dx j dx y dy
Le développement du premier terme du second membre ne contient pas (314) de terme en -■> celui du second terme ne contient pas de terme en -; aucun des deux
ne contient donc de terme en — > et il en est par conséquent de même de leur dif-
xy
férence.
L'expression
dx dy dy dx
partage la même propriété, quels que soient les nombres^ et y, pourvu que l'un des deux au moins diffère de zéro.
Si l'on pose en effet
l'expression (2) est égale à
dfy dv), dfx d(Si dx dy dy dx'
et le tbéorëme lui est évidemment applicable.
Lorsque ^ = o, la démonstration doit être modifiée, mais la conclusion subsiste. On a en effet
I l'df d(f df d's>\ i d { \ dx j i ^Z 1 dy i j
/çp/''^' \dx dy dy dx ) p dy \ / / / P ^^ \ f f''.
Or ^ et -yr peuvent se développer en séries ordonnées suivant les puissances des variables.
