LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Si l'on pose en effet

on en déduira

Le second terme étant de la forme 1. (i + m) est développable en série ordonnée suivant les puissances de w, et par conséquent suivant celles de ^r et de/; le premier n'est pas développable, mais il a pour dérivée par rapport à x, -, et par rap-

dl df port àj, -, en sorte que -T^ et -V~- 5 c'est-k-dire -^^ -j-^ sont l'un et l'autre développables en séries ordonnées suivant les puissances de œ et de y. Il en est donc de

même des produits— ^, ^^-^^ et les dérivées de ces produits ne peuvent pas,

par conséquent, contenir de termes en — •

Lorsque p est nul en même temps que ^, la démonstration est de nouveau en défaut, et cette fois la conclusion cesse d'être exacte. Le développement de l'expression

d^ df d<f df

dx dy' dydx

contient en général un terme en — • On a en effet

dt!^ df dvf dj^

^ rfj dydx d\.(fdl.f d].^ d\.f

f<f dx df df dx

Soit *

cp [x,f) = A, x''^f''^ + k;X^'-f''^ 4- ... *

on en déduit

l./(r,j)=l.B,;."'.j".+l.(.+ j^:l;''--'"'r■^-"'-h...j• Si l'on développe en série les seconds termes de chacun des seconds membres,

et qu'on prenne les dérivées par rapport k x et par rapport à y, on déduit des équations précédentes :

d\.(f{x, dx

ZJ =

dl.tfix djr

vr)

d\.f[x, dx

d\.f{x, dy

ne

se

trouvant dans

. les

séries d

terme en - dans les séries Q et S. D'après ces formules, le développement de l'expression (4) contient évidemment un terme en — qui a pour coefficient

xy

On doit remarquer que, d'après le procédé même indiqué pour obtenir le développement, une même fonction peut donner lieu à des séries différentes, car /Ji,, v,, m,, n^, désignent ici les exposants de x ei de j dans les premiers termes des séries (5), c'est-à-dire évidemment dans deux termes quelconques que l'on aura choisis pour les écrire les premiers. Mais si l'on veut que les séries soient convergentes pour de très-petites valeurs de x et de j, le choix devient forcé, et la condition est souvent même impossible à remplir. Si, lorsque a? est infiniment petit, o[x,y) peut être considéré comme proportionnel à ^, et/(^, j) àj, on devra

prendre a, = i , v, = o, m, = o, n, = i , et le coefficient de — sera l'unité : c'est

la supposition que nous ferons dans les raisonnements qui vont suivre; mais on voit ici combien le raisonnement de Jacobi laisse à désirer du côté de la rigueur.