LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

les facteurs '^ et ^ deviendront des fonctions données de w, et de (^,, et l'on pourra, en supprimant les indices, remplacer les équations proposées par

(p et^ désignant toujours des fonctions données de u et de c. Soit

le développement de la fonction z. Pour déterminer le coefficient A;;, multiplions

l'équation (3) par

dx df dx dy du dv dv du

Si l'on développe ensuite les deux membres en série ordonnée suivant les puissances de u et de v, x étant ici proportionnel à u, etja v, pour de petites valeurs de u et de v, le seul terme en — dans le second membre proviendra, d'après ce qui précède, du terme en x"'f, et aura pour coefficient A;'„; A;;, est par conséquent le coefficient du terme en ^ dans le développement du premier membre

dx dr àx dy

du dv dv du

expression que l'on peut écrire de la manière suivante :

dx-" dr-" dx-"' dr-"l f [dx-" d ,. . f^-r-"' djzy-'^:

I [dx'"' dy-" __ dx-" dy-"~\ i Vdx-" d ^ dx-" djzy T^i^ld^^v dv ~^\~ mn\ du dv^ ^ ' dv du

d ( dz\ d'z ^ dr-" dz „ dx-'- dz~\

- ^ i^"'"-^'"" d-v) ^ ^^^~" ^J. + ^ ÏTÏT r. -^-^ -dT-dTci Or les termes

d-r—"' d do — "■ d d f dz\

dv^-^ ' dv du^^ ' du\ - dv)

du dv

ne donnant pas (398) de terme en ^^, l'expression (4) peut être remplacée par

d^z ,,, dy-" dz „ dx-"' dz

■^ '"'■' " dUTdv '^ "" "' "dlT Tv '^^^ dv du

dans le développement de laquelle le coefficient de ^^ sera égal à A:. En rempli»-

(l'y dLûc

çantajetjK, ^? 7?^ P^^ leurs valeurs déduites des équations (2), cette expression devient

I ,^^.d^z I , d-ij dz I, dn>dz\

m/i^ dudv m^ ^ du dv n^ ^ du dv }

Le coefficient de — est évidemment celui de ?/"-' ^""' dans le développement du numérateur, c'est-à-dire, d'après la formule de Taylor,

im+n 1 ( ^ n in d'z I , cli, dz I , de» dz\

\mn dudv m ' ^ ^/// f/(^ n ^ ^ du dv j