DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS DUN NOMBIŒ INFINI DE FACTEURS

Condition de convergence des produits infinis.

400. Un produit composé d'un nombre infini de facteurs ne peut évidemment être convergent que si les facteurs tendent vers l'unité lorsque leur rang augmente indéfiniment. Lorsqu'il en est autrement, l'adjonction de chaque facteur nouveau change d'une quantité finie le résultat de la multiplication des facteurs qui précèdent et il ne peut pas y avoir de limite déterminée.

Nous considérerons donc seulement les produits de la forme

(1) P = (i + a,) (iH- a,) (H- «3) •••(!+««)•••,

dans lesquels a„, réel ou imaginaire, tend vers zéro lorsque n augmente.

Supposons, en premier lieu, que tous les facteurs considérés soient réels, et que, de plus, a,, «2,..., «„ étant tous de même signe, les facteurs du produit soient tous plus grands ou tous plus petits que l'unité. La condition nécessaire et suffisante pour que le produit ne croisse pas indéfiniment dans le premier cas et ne tende pas vers zéro dans le second est que la série

ai-h a^. . .-t- a„-f- . . .

soit convergente.

Posons en effet

(2) P„=(l + a,) (i + aO- ••(>-!-*„);

pour que le produit? soit convergent, il faut et ilsuffit évidemment que, /i étant trèsgrand, il diffère fort peu de P„, et que, par conséquent, le produit des facteurs qui suivent (n- a«) diffère très-peu de l'unité ou, ce qui revient au même, que la somme de leurs logarithmes

I ( I -i- a„+,) + 1 ( 1 4- a„+jj -h . . . + 1 ( I 4- a«+p)

soit infiniment petite quelque grand que soit)o.

Or, en désignant par k un nombre très-petit, positif ou négatif, on a

ilO PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

£ étant moindre que l'unité, mais en différant infiniment peu lorsque k est infiniment petit, on en conclut

Si la série

est convergente, la première partie du second membre est infiniment petite lorsque n est infiniment grand; il en est à fortiori de même de la seconde partie, composée de termes infiniment plus petits, multipliés par des facteurs moindres que l'unité. Le premier membre de l'équation (3) est donc lui-même infiniment petit et le produit P est par conséquent convergent. Si au contraire la série

est divergente, la première partie du second membre de l'équation (3) augmente indéfiniment avec/?, et la seconde partie, qu'elle reste ou non finie, est pour des valeurs croissantes de n, infiniment petite par rapport à la première. Le premier membre de l'équation (3) augmente donc indéfiniment en valeur absolue, et le .produit dont il est le logarithme augmente sans limite ou s'approche indéfiniment de zéro. Le produit P augmente donc lui-même indéfiniment ou s'approche indéfiniment de zéro, et ne doit pas être considéré comme convergent.

401. La démonstration précédente permet d'énoncer un théorème plus général qui en est évidemment la conséquence: quels que soient les nombres réelsa,, «2..., «„, le produit

est convergent lorsque les deux séries

sont l'une et l'autre convergentes.

Le produit tend vers zéro lorsque, la première des séries étant convergente, la seconde est divergente.

Ce dernier cas ne pouvant évidemment jamais se présenter lorsque a,, a.,'--' ^" sont tous de mêmes signes.