LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Considérons, par exemple, le produit

les seconds termes des binômes forment une série convergente, mais leurs carrés forment une série divergente. Le produit a donc zéro pour limite. La première règle conduit à la même conclusion.

Si l'on pose en effet

on a

V'2W \J-2H-\-i v'^2« (?./i H-i v/2At . v/2« + i (V?.^ 4-i-|-n/2//) sjin .sJ in-\-\

et il est aisé de voir que la série dont a„ est le terme général est divergente.

402. Dans le plus grand nombre des cas, les théorèmes précédents permettent de prononcer sur la convergence d'un produit en la rattachant à celle d'une série dont l'étude directe est plus facile. Quelquefois cependant la convergence ou la divergence d'un produit est évidente à priori et permet de prononcer sur la série correspondante. Soit, par exemple,

Le produit des n— i premiers facteurs est

P a donc pour limite zéro, et par conséquent la série

est divergente, conformément à ce qui a été dit (228).

403. La convergence d'un produit dont les facteurs sont imaginaires exige que la partie réelle des facteurs s'approche de l'unité et que le coefficient de y — i tende vers zéro. Relativement à la convergence des produits de ce genre, nous nous bornerons à démontrer le théorème suivant.

Le produit

lend vers une limite finie toutes les fois que la série qui a pour terme général le module de Un , est comergente.

Soit, en effet,

chacun des deux nombres réels «„ et b„ est moindre en valeur absolue que le module de u„; il résulte, par conséquent, de notre hypothèse, que les valeurs absolues de a„, ainsi que celles de b„, forment des séries convergentes.

Cela posé, nous démontrerons d'abord que le module du produit ^i) ne peut ni tendre vers zéro, ni augmenter indéfiniment.

On a

I H- "ft = I H- c/„ -h />„ \/— I ;

le module de ce facteur est

£ ayant pour valeur approchée — et tendant par conséquent vers zéro lorsque n augmente. Le module du produit des facteurs qui suivent le n'^'"^ est donc

les séries dont les termes généraux sont a„ et b„, étant convergentes indépendamment des signes de leurs termes, le théorème (400) prouve que le produit (2) tendrait vers une limite finie, si l'on y remplaçait a„+, , «,,^2, . . ., b,,^, , b,,^,,..., par leurs valeurs absolues prises toutes avec le même signe, positif ou négatif; il ne peut donc ni tendre vers zéro ni augmenter indéfiniment. Posons maintenant

nous aurons

/>„^, + 7„+, y/— r = ( I + «„^, ) fp„ + q,, ^~) = ^i + a,,^, + 6„+, s/=Tj { p,. + q„ v^~).

On en conclut, en égalant les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres,

,3, . P"^^ = Pn—h„^,q„ + p„a„+,,

Qn+, = q„-ha,.+,q„-i-h„^,p„, c'est-à-dire

qn+i — qn = q,. a„+y + pn b„+,.

En remplaçant successivement dans ces équations npur n -h i , n + 2,..., n -h r, et ajoutant entre elles, membre à membre, celles qui proviennent de la première et

^ ^ Pn^ ^—p„= Pn a«+ , — qn 6„+, ,