IO
Cette formule, due à Euler, est la plus avantageuse que l'on puisse employer pour le calcul du nombre e.
430. La méthode précédente a beaucoup d'analogie avec celle que Gauss a suivie pour réduire en fraction continue la série très-générale
qui, pour des valeurs convenablement choisies de a, p, y, peut représenter la plupart des développements célèbres obtenus jusqu'ici.
On vérifie aisément, en constatant l'identité des coefficients des mêmes puissances de X dans les deux membres, l'égalité
Si doue on pose
F (a, fJ,7,x;
on aura aussi, en remarquant que la fonction F est symétrique par rapport aux lettres a et /3,
F(aH-i, p 7 + 1,.^) F fp, a-t-[, 7 + I, x) p ^ „
L'équation ( i ), divisée par F (a, jS h- i, y +- r, x), prend la forme
-''^'''~^^rr,(p+i,a,7+i,x),
^il^vP, 7'^) 7(7+')
ou '^*'
La même formule donne par de simples changements de lettres
G(fl-f-l,a,7 + i,x) = -
La fonction G qui figure au dénominateur de cette dernière équation s'exprimera à son tour à l'aide de la même formule, et l'on a enfin
nx
. ex
ex
ou 1 on a pose
