m — i) 1.2.3... (m — i) ( dx"'~^ j^-a

Lorsque le nombre m se réduit à l'unité, le résidu de «p (x) prend la forme

[{x a)?(.iP)]^=a-

f ix] Supposons que, dans ce cas, la fonction (d{x) soit une fraction -J-y — - dont l'hypothèse x=:a annule le dénominateur (]; [x). Le résidu est la limite du produit

lorsque x tend vers a, et cette limite est évidemment

fia) .

le résidu est donc égal au numérateur divisé par la dérivée du dénominateur, mais cette règle n'est applicable qu'au cas où a est une racine simple de l'équation /[x) = o.

437. Pour appliquer les règles précédentes, cherchons le résidu de la fonction cot - pour la valeur x = — qui la rend infinie. Le produit

[ X col-

\ flTV f X

a, pour ^ — — 5 une limite finie. Si l'on pose en effet

h étant infiniment petit, cot - peut être remplacé par j-, et le produit

li\nv: -\-h n-K

a évidemment pour limite — ^, qui est par conséquent le résidu demandé. Cherchons encore le résidu de

x^ lang X

relatif à x = o. Le produit de la fonction par x^ ayant dans ce cas une limite finie, le résidu est la valeur que prend, pourx = o, l'expression