LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 4'îl

résidu considéré, il a proposé de mettre le facteur en évidence en le plaçant entre doubles parenthèses.

est, d'après cela, le résidu de la fonction 9 (a;) relatif à la valeur x = a, pour laquelle cette fonction devient infinie.

' En l'absence de toute indication analogue, ^(f>{oc) désigne la somme des résidus relatifs à toutes les racines de l'équation — ^^ =0. Cauchy le désignait sous le nom de résidu iniégral. Pour indiquer la somme des résidus relatifs à quelquesunes seulement des racines de l'équation -t^ =0, on place entre parenthèses les facteurs correspondants à ces racines.

désigne, d'après cela, la somme des résidus de la fonction 9 [x), pris successivement par rapport à a, b, c.

'Pour indiquer la somme des résidus relatifs à celles des racines dont les parties

réelles sont comprises entre deux limites a et a' et les coefficients de y — i entre fj et p', on écrit

P' a' fi 'y.

mais, en adoptant cette notation, on convient de ne compter que la moitié des résidus relatifs aux racines pour lesquelles une des limites est atteinte, et le quart seulement de ceux pour lesquels la partie réelle et le coefficient de \J— 1 atteignent l'un et l'autre la limite indiquée.

Le but de ces dernières conventions est de permettre l'emploi de la formule suivante, qui sans cela serait soumise à des restrictions :

li' ol' b a h v! y a [i' «'

OÙ a est supposé compris entre a et a', et b entre |S et [j.

Si l'on représente, en effet, une expression imaginaire x-{-Y\J'—i, parle point du plan dont les coordonnées sont x et y, le premier membre de cette égalité est la somme des résidus relatifs aux racines correspondantes à des points situés dans l'iu-

i52 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

térieur d'un certain rectangle, et le second membre est la somme des résidus relatifs aux racines qui correspondent à des points intérieurs respectivement à quatre rectangles plus petits, dans lesquels on peut décomposer le premier. L'égalité est donc évidente, pourvu que l'on ne compte que la moitié des résidus relatifs aux points situés sur les lignes de partage, et qui évidemment figurent deux fois dans la somme, et si la fonction devient infinie \)ouvac=a-h b\j —i, le résidu relatif à cette valeur se trouvant quatre fois dans la somme, devra dans chaque terme, conformément à notre

convention, être multiplié par j'

Théorèmes relatifs aux résidus.

4-39. Si la fonction 9 (a:) devient infinie pour x = a, la différence

a toujours une valeur f nie quand on y suppose x = a.

En d'autres termes, pour faire disparaître d'une fonction ^ (oc) la partie qui de-

vient infinie pour x = a, il suffit d'en retrancher le résidu de ^ ' relatif à s = a.

Supposons la fonction q [x) développable en série de la forme

[i)^[x)= -A + — ^i— , +. . . + , ^"' ,, + B + B, ( X - rt) 4- B, (x - .0' + • • • , X- — a [X — ay [x — a)"

on a, en remplaçant x par z, et divisant par x — z , oiz) A, , A.

X — z {z — a)[x — z) {z — ay{x — z) (3)

■ est, pour des valeurs de z peu différentes de a, développable en série

ordonnée suivant les puissances àt z— a, et l'on a

X — z [x — a) — [Z — a) x — a\ x — a [x — af ''' [x — «)'" '" J

en remplaçant — -— - par ce développement dans chacun des termes du second membre de l'équation (3), on obtiendra une série dans laquelle le coefficient