LIVRE SECOND.- DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. tô

(le — ' — est évidemment

où l'on reconnaît la somme des termes qui dans le développement de ^[x) deviennent infinis pour ^ = a, et puisque cette somme est le résidu de ^-3^. le théorème est démontré.

440. D'après la formule qui exprime (436) le résidu d'une fonction, il est aisé de voir que le résidu de

relatif à 5 = rt est une somme de fractions de la forme ^^^^y- le théorème de Gauchy fait donc connaître une fraction rationnelle qui, retranchée d'une fonction donnée de^r, fait disparaître, pour x = a, la partie de cette fonction qui devient infinie. Cherchons, par exemple, la fraction rationnelle qui, retranchée de ^ , laisse une différence finie lorsqu'on y suppose x = o. Cette fraction est,