I — COS X

un reste dont la valeur est finie pour x = o. On dit quelquefois, d'une manière expressive mais peu correcte, que — „ est la partie infinie de '-

■*■ 1 — eus X

U 1 . Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples. —Si l'on retranche d'une fraction rationnelle 9 (ic), le résidu intée-ral y ^^"^^^^^^X relatif à toutes les

racines de l'équation — — , = o, la différence

ne devient infinie, d'après le théorème précédent, pour aucune des valeurs de x qui rendent infinie la fonction 9 (^)-, etcomme un résidu n'est jamais infini, cette différence, qui évidemment est une fonction rationnelle dex, ne devient infinie pour aucune valeur finie de la variable: elle se réduit par conséquent à une fonction entière, et le résidu intégral

est par suite la somme des fractions simples qui figurent dans la décomposition de 9 (a?). Lorsque dans (^ (x) le degré du dénominateur surpasse celui du numérateur, l'expression n'a pas de partie entière, et l'on a

Soit, par exemple,

X — iy-(x-i^i}'

on aura

;.^'— 0'(.r + 1) *^ [X— z) \{z^ i)} [[z — i)]- *-^ [^ ~ z){z — iy [[z-i-ij^

^ [X — Z)(Z^I) ((2— IjJ^

mais on a (i36)

iy{iz-hi)} 4(x+i)'

*-' ^r• T ■> /• ^ i , \ ff - — , \\2 ' I