LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE, par conséquent

Somme des résidus d'une fond ion rationnelle. 442. Reprenons l'équation

qui suppose seulement que la fonction rationnelle 9 (a?) s'annule pour une valeur infinie de x. Multiplions les deux membres par x et remarquons que les résidus dont la somme forme le second membre étant pris par rapport aux valeurs de la lettre z qui rendent ^{z) infini, la multiplication par x peut s'effectuer sous

le signe ^ ; nous aurons

et si l'on fait croître x indéfiniment, cette équation devient

Si le produit ^9(0?) s'annule comme 9 (a?) pour une valeur infinie de x. ou, en d'autres termes, si le degré du dénominateur de o [x) surpasse de plus d'une unité celui du numérateur, on aura donc

c'est-à-dire que la somme de tous les résidus de la fonction 9 [z) est égale à zéro. Ce théorème ne diffère que par la forme d'une formule importante due à Euler. Soit

F [x] étant un polynôme de degré supérieur à /.» + i , et dont nous supposerons tous les facteurs inégaux ; x —a étant l'un de ces facteurs, le résidu correspondant •à X z=i a est (436)

Si donc, a, h, c,..., k, l, sont les racines de l'équation F (x) = o, la formule (4)

équivaut à

aP bp Ip

('ette équation suppose, il ne faut pas l'oublier, que l'exposant p soit inférieur de deux unités au moins au degré du polynôme F(^). Si la différence entre/? et le degré du polynôme F [x) est une unité seulement, le premier membre n'est plus

nul, et sa valeur est la limite de ,-^- — -^ c'est-à-dire l'inverse du premier coefficient

443. Cauchy a complété le théorème précédent en donnant l'expression de la somme des résidus d'une fonction rationnelle, qui n'est pas nulle pour une valeur infinie de la variable. On a, quelle que soit la fonction rationnelle 9 [x),

la détermination de la somme de tous les résidus, quel que soit leur nombre, étant par là ramenée au calcul d'un résidu unique relatif, comme l'indique la manière dont il est écrit, à la valeur zéro de la variable z. On a en effet (439)

— ^-^ = ' — ^^ — r + cjf-Z),

CI [z] ne devenant pas infini pour z = o. On a d'ailleurs

z — u z \ z Z^ ZP

donc

^ [{u')]z \ z Z^ ZP '

La fonction (^ {x) devenant infinie avec x, l'équation

admet la racine u = o. Soit m son degré de multiplicité: les termes qui dans la parenthèse ont un exposant plus grand que m -1- i, ne sont pas infinis pour m = 0,