LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

et n'infUifnt par conséquent pas sur le résidu; on peut donc écrire

ou, ce qui revient au même,

Si l'on pose - = .^ ai z-rsi z) = Y [x], il viendra, en divisant les deux membres par x^.

^ I M My (- ) /r+''^ (-

Prenons maintenant les résidus des deux membres de cette équation par rapport ^ à X, et pour toutes les racines de l'équation —, — r = o, il viendra, en ayant égard

aux équations évidentes <£- = '> ^[^i = o, .;, ^.r = o, ^.^"' = 0,

OrF(a;) désigne ici z^z5(z), le produit xY{x), est par conséquent égal à :;sy (2), et s'évanouit par conséquent lorsqu'on suppose x infini, c'est-k-dire z égal à zéro; on a donc (442)

et par conséquent enfin

r o{x)= r -Ail-

comme on l'avait annoncé.

Changement de la variable indépendante.

444. Lorsque l'on change la variable au moyen de laquelle une fonction est exprimée, les résidus de la fonction changent en général de valeur. Que l'on con- I. ' 5«

sidère, par exemple, la fonction - dontlerésidurelatif à a7=o est l'unité; si l'on pose

^ — 5-, la fonction devient —1 et le résidu correspondant k z = o est nul. Les résidus dépendent donc du choix de la variable. Caucliy a démontré le théorème suivant :

Si la fonction 9 (^) devient infinie pour x = a, et que l'on pose x=fi>{z), z, étant la valeur de z qui correspond à a? = a, on a

r ?(-^) i^ — a) ^ p '^{z)Viz)iz — z,)

Supposons d'abord que le produit {.x — a) (^ [x) ait, pour x^a, une valeur finie,

on a (436)

mais

x-a),{x)=[-h{z)--Hz.)]'^[-^{z)]=^''^^'l\^^'\[^{z)\{z-z.).

Lorsque x tend vers a, z tend vers ^,, et le rapport

a pour limite <];'(^,)' 6t ^^P^^^^^^ '

a pour limite le résidu de <]f' [z) (^[^[z)] relatif à z = z^; on a donc

On doit remarquer toutefois que le raisonnement précédent serait en défaut, si pour la valeur s, de z, <]^' [z) était nul ou infini. Dans ce cas, en elïet, (|^' [z) et

•H^) — 4^(^') ^ devenant nuls tous deux, pour z = z^, ne sont pas pour cela

z — 2, ' des infiniment petits égaux, et il n'est pas permis de les remplacer l'un par

l'autre. Si, par exemple, ^ [z) ~ s", et z, = 0, on a,

,};'(2) — fA2''-~',

et il faut, pour que la formule (3) reste exacte, diviser le second membre par p..