LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Supposons en second lieu que, m étant un nombre entier, le produit ç [x] ix—a;" ait, pour x — a^ une limite finie; posons

nous aurons

K.[x).{x — a )'" z=^V ix), Via) r[a) , Y"{a

'^^^~'(^— rO'"" [x — a]""^ ' i.i.{x — ar F"'-'(rt) ■ F"'(^/)

1.2... (w — \]{x — (i) \ .■?..:,... m Le terme en — '- — étant ici celui qui nous importe, désignons par zs [x) la somme

X — a de tous les autres, et écrivons

F"'-'frt

tsj(x) = Ts(x)+ ry—

m — 1 Uc — a .

Cette équation devient, par l'introduction de la variable z,

Y'"-Ua) 1

Multiplions les deux membres par ^'{z), et prenons les résidus relatifs à s = 5;, , nous aurons

Le premier terme du second membre est égal à zéro. Le résidu de t? {x) relatif à la valeur a de la variable est en effet égal à zéro, car pour former zs [x) on a retranché

du développement de 9 {x) le terme en — ^- Il en résulte ques; {x) est la dérivée

d'une fonction développable suivant les puissances àex — a, et par conséquent le produit

est la dérivée par rapport à z de la même fonction qui sera, en général, développable en série ordonnée suivant les puissances de z — Zf, et par conséquent le résidu de cette dérivée est (314) égal à zéro. L'équation précédente se réduit donc à

py[^(z)].f(z)(^-^,) F"-(a) p f(^)

^ ' <- [(-2 — -.)] ~~ 1.2.3... ni—i ^ [{^{z)—h{z,)]

Or — — — est précisément (436) le résidu de o ix) relatif h x=:a, et par

conséquent le théorème sera démontré si nous prouvons que l'on a

Pour y parvenir, posons

■y iz] I ^

^ ^ ' — — =rf'(z].

Le résidu de ^ est égal à l'unité. Quant à celui de #' [z), il est nul, car en dé-

veloppant ^ [z) suivant les puissances de^-- — » la dérivée d'aucun terme ne sera de la forme — ■ — ; on a donc

et l'équation (8) se réduit à

elle prouve que le résidu de (p [x] relatif à la valeur x = a, est égal à celui de la fonction transformée (p[(|^ (.s)] multipliée par la dérivée ^' {z).

Nous devons remarquer toutefois que cette formule est en défaut, comme la formule (3), lorsque -.j^' (^i ) est nul ou infini; dans ce cas, en effet, la fraction

devient également nulle ou infinie pour 2 = s, , et son logarithme n'est pas développable en série ordonnée suivant les puissances de {z — Zf). Cherchons comment on doit alors modifier la formule (10).