LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

prend donc la forme ; le rapport des dérivées est

— col - X -\-

sin^ - X

Le dénominateur ayant une valeur finie, il suffit de chercher, pour .x = o, la véritable valeur du numérateur qui se présente encore sous la forme indéterminée 30 — Qo . Or on a

1 2 X — siii .r

col - X -\ =

sm^ - X 1 sm' - X

et sans recourir à l'emploi des dérivées on voit que ^• — sinjs- ayant pour valeur approchée -^? le numérateur est infiniment petit par rapport au dénominateur; la

véritable valeur est donc zéro, et, pour x = o, la différence - — cot - j? se réduit

a zéro.

458. Détennincr, pour x = o, la véritable valeur de ^ ce -^ ax^^rx^- ^ c^-ax ^ x^ ^

sla-\-x — Vrt — X — Au lieu de prendre les dérivées des deux termes, il est plus simple de les développer par la formule du binôme en séries ordonnées suivant les puissances de oc, dont l'inspection fera immédiatement connaître la valeur cherchée. On a

si a' -\- ax -\- X- = a \/ i ^ 1 = « in ^ + . ,

sja-\-x=\la\Ji+~=:sl7i(

2 <7 O rt-

La fonction proposée devient donc, en réduisant les séries à leurs premiers termes.

sja et la.véritable valeur est par conséquent yja-

^■'S PREmÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL

459. Déterminer, pour ^=0, la véHtahle valeur de jj' +.r + ^^) + I (i - ^ + xM^

sec X — cos X

— Cette fraction, pour a7=o, se présente sous la forme-, et il en est de même du

rapport des dérivées de ses deux termes. La règle générale prescrirait donc ici deux différentiations; on peut les éviter en remarquant que l'on a

l(i -(-.r + ^2)4-l (i — X -\-x'') cos^l([ +.r'-|-x') séc .r — cos.r "" sin'x

Le facteur cos o^ tendant vers l'unité, n'exerce aucune influence sur la limite : ^^

tendant vers l'unité, on peut remplacer le dénominateur par x"- , et la limite cherchée est égale à celle de

\{\+x' +x') Or on a

que l'on peut, pour une valeurinfiniment petite de ^, réduire au premier terme x-\ la limite cherchée est donc l'unité.

460. Déterminer, pour x=o, la véritable valeur de "^'^'"^''"'•^^ — !!^.Pour ap-

pliquer à cette fraction la règle générale, il faudrait prendre six fois la dérivée de chaque terme; le développement en série du numérateur conduit au même hut par un calcul plus facile. On a

, . , . sin' X ^hv X sm (sm.r=sm.r : 1

Dans chacun des termes du second membre, remplaçons sin x par la série qui le représente, et supprimons les termes dont le degré surpasse 5, et qui, multipliés par X et divisés par x\ doivent donner un quotient dont la limite est nulle; nous

aurons

sin(sin.r) = ^-f:' + — -;.(x^-^\ -^^=x-^% On a aussi, en négligeant cette fois les termes en x\

.sin^^= ^— — H ]z=x ^ , ,^

et par conséquent, en négligeant toujours les termes en x\

xs'm [smx] — s'm^ X = x'' { ,^^)=^