I --1 - I ( I -h. ri

l'hypothèse x = o rend les deux termes du numérateur infinis, et Ton n'a lait, comme on voit, que substituer une difficulté à une autre.

Pour calculer la véritable valeur de l'expression ( i ), donnons-lui la forme

(^i^xf"' ayant évidemment pour limite e, il suffit de chercher la véritable valeur de

Remplaçons l(i -+-0?) par la série qui la représente, en négligeant dans le produit {i -hx) \{i -hoo) les termes en x^, nous aurons

I ( I -+- .r ) 1 ( I -h ^- ) ^ jî 1 .

la limite cherchée est donc — -, et l'on a par conséquent

(i-{- xY — e e (2) lim ^--^^ — '- =

Cherchons encore la limite de la fonction

- ex

[i^xY— e^

qui, d'après le calcul précédent, prend pour^:==o, la forme-- Le rapport des dérivées des deux termes est

Le dénominateur étant ici 2x, nous pouvons, sans altérer la limite, dans le calcul du numérateur, négliger les termes en x^ Occupons-nous d'abord du facteur

I (iH-.r) l^i +^; .r x'

Vax y remplaçant l(i + x) par son développement, on voit que ce facteur, quand on Y néglige les termes en ^^ se réduit à — ^ + ^- Le multiplicateur (i -+- ^)^"' ayant une limite finie, nous pouvons nous borner à cette approximation; mais il n'est pas permis de remplacer ce multiplicateur par sa limite e, l'erreur commise serait en effet comparable à .r, et ne doit pas être négligée. On a, en négligeant les termes en .t'^,

ex e

par conséquent, au même degré d'approximation,

[x^xy =.'^^^r^- = [x~^xY[x-x) = e -- ex. \ -^ X ' ■).

L'expression (4) devient ainsi

dont la limite est — t-, et l'on a enfin

[\-\- xy — e -\

Iim

La valeur approcbée de {\+xf lorsque x est très-petit et que l'on néglige les termes en x^ , est par conséquent

\-{- xY =.e —