LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

c'est cette somme qu'il faut rendre minima. Elle ne dépend évidemment que d'une seule variable, car o et ^ sont liés par l'équation ( i ), et // et ^ en sont des fonctions données. On trouve en différentiant l'équation ( i )

ad ç l>d-\>

(^) COS'^ COS'i]> '

et puisque la différentielle de l'expression (2) est nulle quand il y a minimum, on doit avoir en même temps

adwshi's» adu bdi^s'xn-^ bdv

^^1 H ces' 0) W CO'A ^ VCO^'^-if (^-cos^-A '

ce qui, en vertu de l'équation (3), se réduit à

sin (p ces 0) sin -j/ cos -^

du dv

Cette équation, jointe à la relation (i), détermine les angles ç et d^ ; elle est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable. L'inverse du premier membre est

du

da .

— u-j^ sm (f -f- cos

du

Si l'on considère u et o comme les coordonnées polaires d'un point, le pôle étanl placé en M, et l'axe polaire perpendiculaire à OX, le lieu des points correspondants aux diverses valeurs de 9 est une courbe que l'on peut considérer comme donnée, et dont la tangente fait avec le rayon vecteur un angle V défini par l'équation

dr,

lang \= M -p^ ;

l'expression (6) devient alors

— u lang V — u sin V

— Uuig \ sin 1- + cos (p cos ( V H- ? )

Or "^^'" . est la portion de la perpendiculaire à l'axe polaire comprise entre

cos(V-l-f) ' ^ "^

le pôle et la tangente à la courbe, c'est-à-dire la distance du point M au point où la droite XX' est coupée par la tangente menée à la courbe par le point où elle rencontre le rayon MB.

Si l'on construit de même et du même côté de la ligne de séparation la courbe

dont les rayons vecteurs sont proportionnels à la vitesse de propagation dans le second milieu, le second membre de l'équation (6) représente la distance comprise entre le point M et le point où la tangente à cette seconde courbe coupe XX'; il résulte de là que les deux tangentes doivent se rencontrer sur XX', et l'on est conduit au théorème suivant :

En admettant que la lumière se propage suivant une loi telle, que le temps du trajet soit un minimum, pour connaître le rayon réfracté correspondant à un rayon incident AM, on prolongera AM jusqu'à la rencontre de la courbe dont les rayons vecteurs représentent les vitesses dans le premier milieu, puis parle point d'intersection, la tangente à cette courbe, du point où cette tangente perce la ligne de séparation, on mène enfin une tangente à la seconde courbe dont les rayons vecteurs représentent les vitesses de propagation dans le second milieu. Le point de contact de cette tangente est situé sur le rayon réfracté.

478. Problème III. — Trouver les deux axes delà section d'un ellipsoïde par un plan donné passant par son centre, en les considérant comme les rayons vecteurs maxima et minima de cette section.

Soit

l'équation de l'ellipsoïde. Le rayon vecteur r qui forme avec les axes les angles a, |3, -y, est donné par la formule

1 ces' a COS^ P COS^Y

11 ne dépend que d'une seule variable, car en nommant /, m, n, les angles formés avec les axes par la normale au plan de la section considérée, on a évidemment

ces' a + ces' p H- cos^ 7 = I , (3)

ces a cos / H- ces p cos m -+- ces 7 CCS n = o..

- étant maximum lorsque r est minimum et réciproquement, nous résoudrons le

problème en égalant à zéro la différentielle de —^7 et considérant cos /5 et cos 7 comme des fonctions de cos a, définies par les équations (3); on aura

, ,, cos a r/ ces a COS S C? COS S COS7ûfC0S7