LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
La différentiation des équations (3) donne d'ailleurs
COS a <^ COS a + ces p ^/ COS p -i- COS 7 C? COS 7 = O ,
cos/c?cosaH-cosm JcospH-cosnrf 0057= o,
11 faut de ces deux dernières équations déduire d cos fi et dcos^/ et les substituer dans (4); celle-ci se réduira alors au produit de d cos a par un coefficient qu'il faudra égaler à zéro; or ce calcul revient évidemment à éliminer dcosx, ^cos/3, c?cos7, entre les équations (4) et (5). Pour y parvenir, la méthode la plus simple consiste à ajouter ces équations après avoir multiplié deux d'entre elles par deux facteurs indéterminés >,, X2, puis à égaler à zéro les coefficients des trois différentielles ; deux des équations ainsi obtenues servent à déterminer les multiplicateurs l^ et 1^, tels, que l'addition fasse disparaître deux des différentielles, et la troisième équation est alors précisément le résultat de l'élimination. On obtient ainsi les relations
ces a . , ^ ; h ^1 COS a + A, ces / = o,
COS s , « .
(6) — ^-+->,cosp + A2COsm = o,
ces 7
î- -h X, COS 7 -h Xi COS Al =0,
En éliminant entre elles X, et X2, on obtiendrai relation qui convient aux rayons vecteurs maxima et minima.
En ajoutant les équations (6) après les avoir respectivement multipliées par
COS a, cosp, COS 7, il vient, en ayant égard à (1) et (3),
et les équations deviennent, en remplaçant X, par — — >
COS a ( — ^ — i; ] + X, COS / = O ,
(8) cosp I ^ — — 1 4-AjC0sm = o,
COS 7 ( — — T2 ) + ^' *'*^^ /i = o ,
d'où l'on déduit, en ayant égard à la seconde équation (3),
COS'/ COS' m cos'/i
'(? ir^ ft^^r^ c* r'
o{)2 . PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Cette équation, qui est du second 'degré en -^ , détermine les longueurs des deux
axes; r étant regardé comme connu, les équations (8) font connaître cosa, cos/5, cosy; elles donnent en effet
ces / ces m CCS n
CCS y. ces P COS V
et la somme des carrés des trois cosinus étant égale à l'unité, ils peuvent être regardés comme connus.
Solution géométrique de quelques problèmes.
479. Lorsqu'une fonction devient maxima ou minima, sa différentielle est nulle, et la variation correspondante à un accroissement infiniment petit de la variable dont elle dépend, se réduit à zéro quand on néglige les infiniment petits du second ordre. Cette considération peut s'appliquer directement dans un grand nombre de cas et fournir souvent une réponse très-simple aux questions de maxima et de minima.
Reprenons, par exemple, le problème déjà étudié [M ^): Trouver la plus courte distance d'un point à une courbe.
Soit 0 le point donné, et OM la distance minima. Si l'on nomme M' un point infiniment voisin de M, situé sur la courbe, il faut que la différence OM' — OM soit nulle, lorsqu'on néglige les infiniment petits du second ordre. Or cette différence est égale (21 ) au produit de MM' par le cosinus de l'angle formé par OM avec MM'; ce cosinus doit donc être nul, et par conséquent la ligne de longueur minima ou maxima est une normale.
Cherchons pour second exemple un point situé sur une courbe donnée, et tel que la somme de ses distances à deux points donnéssoit minima ou maxima.
M étant le point cherché, et A, B les points donnés, il faut que la somme AM-hBM soit égale, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à la somme AM'-f-BM', relative à un point infiniment voisin. Or les accroissements de AM et de BM sont égaux (21) aux produits de MM' par les cosinus des angles formés par sa direction avec les lignes AM et BM; ces cosinus doivent donc être égaux et de signes contraires, et par conséquent la somme AM + BM est minimum lorsque les deux lignes AM et BM forment des angles égaux avec la courbe donnée sur laquelle se trouve le point M. '
