LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Maxima et mlnima des fonctions de deux variables.

i80. Soit 9 [oc, y) une fonction de deux variables indépendantes x^iy, les valeurs maxima et minima sont telles, que la différence

<p(jrH-//, j+ /.)— y(^, r)

conserve lemême signe, quelles que soient les valeurs très-petites, positives ou négatives, attribuées à ^ et à ^. Le théorème de Taylor donne

et pour des valeurs infiniment petites de h et de k, R est négligeable par rapport aux deux premiers termes, toutes les fois que ceux-ci sont différentes de zéro. Or ces termes, qui déterminent les signes du second membre, changent de signe sans changer de valeur quand on change h en —h et ^ en —k; l'accroissement de la fonction ne peut donc avoir un signe invariable que si l'on a à la fois

ce sont le^ conditions communes au maximum et au minimum.

On peut remarquer que la fonction <p [œ, r), étant maximum ou minimum lorsque x et y sont l'un et l'autre variables, doit l'être à fortiori si on laisse l'une de ces quantités constantes. La règle relative aux fonctions d'une seule variable devient alors applicable et permet d'écrire immédiatement les équations (2). Mais ces deux équations ne sont pas suffisantes; en les supposant satisfaites, le théorème de Taylor donne

R étant pour de petites valeurs de h et de k, négligeable par rapport aux trois

premiers termes du second membre, bi donc les trois dérivées ^1 ^^ , .> j-^' ne

sont pas nulles, le signe du second membre, pour des valeurs infiniment petites de h et de k, sera le même que celui du trinôme

■^> ld^^^''''d7dj'^'' dr^'

il V aura maximum ou minimum si cette somme reste toujours négative ou toujours

positive pour toutes les valeurs très-petites attribuées âhetkk; or, en écrivant l'expression (4) de la manière suivante :

2 ydx^ Il dxdy \lij dy'^\

on voit que son signe dépend seulement du second facteur, lequel est une fonction du rapport j-> qui peut varier de — qo à + qc , et pour que le trinôme conserve toujours le même signe, on doit avoir

Celte condition exige évidemment que -j\^\> -A, aient le même signe; s'ils sont négatifs, le trinôme (4) est négatif, et il y a maximum; il y a minimum, au contraire, lorsque, l'inégalité (5) étant satisfaite, -^-| et y-^ sont positifs.

Lorsque les valeurs de x et de j qui annulent -j- et -j-,-> donnent ,

/ d^^ y id^'A (d'^\^^

\dxdxJ \dx'J \dy')

le trinôme (4) ne peut pas changer de signe, mais il peut devenir nul, et si l'on donne au rapport j une valeur convenable, les termes du second ordre disparaissent dans le second membre de l'équalion (3), et ce sont ceux du troisième dont la somme impose son signe au développement; or ces termes changent de signe sans

changer de valeur, lorsque, laissant j invariable, on change ^ en —h, eik en —k\

il n'y a donc ni maximum ni minimum si, pour la valeur considérée du rapport -^ ^

leur somme est différente de zéro; lorsque la somme des termes du troisième ordre est nulle en même temps que celle des termes du second, ce sont ceux du quatrième

ordre qui, pour cette valeur du rapport -^ imposent leur signe au développement,

et comme ils ne changent pas de signe lorsque h se change en — A et k en — k, il suffira, pour qu'il y ait maximum ou minimum, que ce signe soit le même que

celui que conserve la somme des termes du second ordre pour les valeurs de -j^

qui ne l'annulent pas.

481. Si les trois dérivées du second ordre V^,, ^-^^ 4—?-' sont nulles en même