LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 80S

temps que celles du premier, il faut, pour qu'il y ait maximum ou minimum, que les quatre dérivées du troisième ordre soient nulles aussi pour les mêmes valeurs des variables, et qu'en outre l'ensemble des termes du quatrième degré en helk dans le développement de Taylor ait un signe invariable : cette dernière condition sera remplie si, en égalant à zéro la somme de ces termes, l'équation du

quatrième degré en y qui en résulte a toutes ses racines imaginaires.

Fonctions d'un plus grand nombre de variables.

482. L'étude des maxima et minima d'une fonction d'un plus grand nombre de variables repose sur des considérations entièrement semblables aux précédentes. Soit (p {x,y, z) une fonction de trois variables indépendantes; pour qu'elle soit maxima ou minima, il faut que la différence

<f{x + h, X-\- k, z-hl) — <^{x,r,z)

conserve le même signe, quelles que soient les valeurs très-petites attribuées aux accroissements h, k, L Or on a (395)

R étant, pour de très-petites valeurs de A, k, /, aussi petit que l'on veut par rapport à la somme des trois premiers termes, qui par conséquent influent seuls sur le signe du second membre. Ce signe ne peut être invariable que si l'on a

r/ >p d ^ do

dx ' df ' dz

Ces conditions étant supposées remplies, le théorème de Taylor donne

(o[x-^li,y'^k,z-^l) — (o{x,y,z)

/i^d^ Jr^d^ l^d^ r/> , d'o j^ ^ d]j ^^

:>, dx'^ ■?. dy 2 dz^ ' dxdy dxdz ' dydz

R étant, pour de très-petites valeurs de h, k, l, aussi petit que l'on voudra par rapport aux termes qui le précèdent. Il faut donc, pour qu'il y ait maximum ou minimum, que le polynôme

2 dx^ 1 dy ■?. dz^ dxdy dxdz dydz

conserve le même signe, quelles que soient les valeurs très-petites attribuées à A, k ei L

Or il est permis de supprimer cette condition relative à la petitesse des accroissements. En mettant en effet en facteur la quantité positive h-, on voit que le signe

du polynôme ne dépend que des rapports t et y qui sont entièrement arbitraires et

peuvent varier de — oo à -f- qo . Cela posé, la condition cherchée se trouvera de la manière suivante. Soit le polynôme

Pour exprimer que son signe reste invariable, quelles que soient les valeurs attribuées à A, k, /, on commencera par réunir tous les termes qui contiennent A, auxquels on ajoutera les termes nécessaires pour compléter un carré, lesquels bien entendu seront ensuite retranchés; l'expression (i) devient ainsi

On réunira ensuite dans les termes qui suivent le premier, tous ceux qui contiennent ky en leur ajoutant les termes nécessaires pour compléter un carré. L'expression {'i) devient ainsi

elle est par conséquent mise sous la forme

( 4 ) A { A + mk + niy + A' ( l+pk )-' -f- A" /, = ,

A, A', A", m, n,p, étant des constantes connues. Il est clair qu'une condition suffisante pour que le signe de (4) soit invariable, est que A, A', A", soient de mêmes signes; cette condition est en même temps nécessaire, car, A, kj étant arbitraires, on peut réduire à zéro deux quelconques des trois carrés qui multiplient A, A', A", sans y réduire le troisième, dont le coefficient donnera par conséquent son signe à la somme totale, et si ces trois coefficients n'ont pas le même signe, la somme peut, suivant les valeurs de h, k, l, prendre des signes différents.

4-83. La théorie précédente s'étend sans difficulté aux fonctions d'un nombre quelconque de variables. La condition commune au maximum et au minimum est que les dérivées de la fonction par rapport à chacune des variables dont elle dépend soient toutes égales à zéro; il faut en outre que le polynôme homogène formé par les termes du second ordre dans le développement de l'accroissement de la fonction ait un signe invariable quels que soient les accroissements des variables; cette con-