LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEJkŒNTS EN SÉRIE

dition s'exprimera comme dans le cas de trois variables, en mettant le polynôme sous la forme d'une somme de carrés multipliés par des coefficients constants qui devront avoir tous le même signe. Il y a maximum lorsque tous sont négatifs, et minimum lorsqu'ils sont tous positifs. S'ils sont de signes différents, il n'y a ni maximum ni minimum.

Au lieu de dire que les dérivées de la fonction sont toutes nulles pour les valeurs des variables qui correspondent au maximum ou au minimum, on peut dire que la différentielle totale de la fonction est égale à zéro. Cette différentielle étant la somme des produits des dérivées par les accroissements arbitraires attribués aux variables, les deux énoncés sont évidemment équivalents. I.e second est pourtant, dans certains cas, d'une application plus facile.

Maxima et mlnirna des fonctions implicites.

484. La tbéorie précédente s'applique sans cbangement aux fonctions implicites; on peut concevoir en effet que des opérations algébriques les transforment en fonctions explicites; les conditions relatives au maximum ou au minimum s'exprimeront alors au moyen de dérivées que l'on peut calculer à l'avance par la métbode connue pour la différentiation des fonctions implicites. La manière la plus commode de former dans ce cas les conditions communes au maximum et au minimun> consiste à égaler à zéro la différentielle totale de la fonction considérée.

Soit 9 [x^, Xo, ^( . . . ^,«+„) une fonction de m-\-n variables entre lesquelles on donne n relations, L, = o, Lo = 0. . . , L„ = o. La condition commune au maximiiin et au minimum est

do , do , d :, , d If ,

i I ) -— dxt -i — î-^ dx. H — -,-^ ax:^ -(-.•• H — i — — dx,„+u = <>•

dxt 0X2 axz (ix„:+n

Les variables ^,,a;o,..., £p,„+„, étant liées par n équations, leurs différentielles satisfont à n équations du premier degré:

dLi , </L, , d\j. ,

dXi + -j — dXi H- ... H- — dx,:,+„ ^ o ,

f/jc, dx-i ' ' ' dx,

dU , du , dL. , ( 2 } y— dXi -+- -j— (/X:, -{-. ■ .-h -j dx,„^„ =1 o ,

du . du , d].„ J

-y— (IX^ H J— (IX-i -]-. . .-\ ' dX,„+n =<

«.r, (IXi dx„,+n

Si par le moyen de ces «équations, on élimine du premier membre de l'équation (1) un nombre égal de différentielles, dx^, dx.^, . . . , dx„ par exemple, toutes celles qui resteront pourront alors être considérées comme arbitraires, et l'on égalera ensuite a zéro les coefficients de cbacune d'elles. On obtiendra ainsi m équations

»)08 PREiMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

qui, jointes aux n équations données, détermineront les valeurs des /n + /i inconnues pour lesquelles il peut y avoir maximum ou minimum.

485. Pour éliminer les différentielles c^a;, , dx.^, . . . , dx,i, on peut ajouter les équations (i) et (2) après avoir multiplié les dernières par des facteurs X,, X2 , . • . , X„, que l'on déterminera de manière à rendre nuls les coefficients de ces différentielles : on devra ensuite, comme il a été dit, égaler à zéro les coefficients des différentielles restantes, en sorte que, pour des raisons différentes il est vrai, tous les coefficients auront été égalés à zéro, et l'on aura m-\-n relations entre les n multiplicateurs et les inconnues primitives, sans que le choix arbitraire des différentielles éliminées ait altéré en rien la symétrie des formules. Les équations ainsi obtenues sont

d'cp û?Li dhi ^ dLn

da^t ' dxi ^ dxi " dx^

dro dL, ^ dhi , , . f/L„

dx, dx-i dx-i dx.

dht , dLi ^ dL„

ilOCffi-^n ^^m-hn (^'^m-\-u UJifi

Il faudra leur adjoindre les n équations données J^, = o, La = o , . . . , L„ = o, et le nombre total des équations se trouvera égal à celui des inconnues auxquelles il faut adjoindre les multiplicateurs X,, X2» • • • » Xi^

486. Comme application de la théorie des maxima des fonctions implicites, nous chercherons le polygone de plus grande surface que l'on puisse faire avec des côtés donnés.

Soient a;,, j,, x^, y^, . . . , x,t, yn, les coordonnées inconnues des sommets du polygone, la surface qu'il s'agit de rendre minima a pour expression

(i) S=- (^,—^j)(r2 +/')+- {x2—3c^){y,-^x,)^...-^ - {x„—x,){x^^yn),

c'est-à-dire

(2) - [y^ [x„ — x.,)-^yj[x, — X3) +/3(^2 — x,)-{-. . .-t-r«(-r„, — ^,)].

Les relations données entre les 2/1 variables Xi , x^, . . , , x,^, y^, y^,..., yn , sont

al = {x„—x, y -h- (r«— j-i )'.