LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

La condition du maximum, dS = o, est ici

-\-f„ d ( x„-> — x,) = o, les différentielles qui y figurent étant liées par les n équations

{ X, — X,) d {x,—x,) -^if, — ja ) dix-, — j-3 ) = o ,

{x„ — x,)d [x,. —X, ) +( j„ — J. ) d{jn—y\) = o,

au moyen desquelles on peut éliminer de l'équation (4) les différentielles dœ,, dx^, . .'. , dxn', chacune d'elles figurant dans trois équations seulement, les multiplicateurs qu'il faut adopter pour que l'élimination se fasse par addition sont faciles à trouver, et l'on obtient une équation de la forme

(6) K, dy\ 4- K, df,-h. ■ .-f-K,,^//,, = o,

OÙ l'on a

K3 = ^, — X, + ( y\ 4- >-3) z. — zr — (/-^ -^/^ ) ■-

L'application de la règle générale conduirait à égaler maintenant a zéro chacun des coefficients/^,, /^2 , - ■ -y^,,, mais ce serait commettre une grave erreur. Les n équations données entre oc,, y,, x., y^, . . .,Xn,yn, ne laissent pas en effet/,, 72,..., y„ entièrement arbitraires, et les différentielles dy,, dy., . . ., dy,, sont liées par une relation nécessaire, en sorte que l'équation (6) peut être satisfaite sans que chacun de ses coefficients soit nul. Si en effet on déduit des équations (3) les valeurs de X, —x.,x^ — x^,..., x„ — ^,, leur somme doit être nulle, el cette condition donne

une relation entre/, , /o» • • • . 7«- La relation correspondante entre cÇy, , dy., dy„ ,

s'obtiendra en ajoutant les différences dx^ —dx. , dx^ — dx., dx„ — dx, , déduites des équations (5). L'équation ainsi obtenue est

( ^ ) 11 , <Iy\ -h l\,dy, -+-,.. -h H„ </y„ = o,

■^ I — — OC 1 *^n ~~~~ •^' 1 XI 2 ' '

II„

L'équation (6} devant avoir lieu pour toutes les valeurs de dy^ , dy^, . . ., dy„ , qui satisfont a l'équation (7), il est nécessaire et suftisant que l'on ait

^^' H;=^îr. = ïï; - = 11;;

Telles sont les conditions nécessaires pour que la surface du polygone soit maxima. 11 est facile de les interpréter géométriquement. Si l'on écrit en effet que les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés, {x„,y„) (a?,,j,), {œ,,yt) {a^.->,y.i), {^2^ y-î) (^3» Js). concourent en un même point, on retrouvera l'équation

K^^ K^, H, Hj

et l'on voit aisément que l'équation continue (8) exprime que toutes les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés concourent en un seul et même point, et que par conséquent le polygone est inscriptible dans un cercle.

i87. Cherchons, comme seconde application, le polygone de plus grande surface entre tous les polygones isopérimètres d'un nombre donné de côtés.

En désignant, comme dans la question précédente, les coordonnées des sommets

par 07,, V,, 00^, y^ , ■x„,y,,, l'expression de la surface qu'il faut rendre maxima

est

et si Ion pose encore

al = 'x„ — X, y- + (>•„ — y, y-,

la seule équation de condition donnée entre les 2n coordonnées est

(3) «, + «j-h. . .-4-r^„==/, d'où l'on déduit

(4) da^-{- da2-\-. . H-f/«„=:o,