LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. Ml

e'est-à-dire, en remplaçant da^ , da-^ ,..., da„ par leurs valeurs,

( x„ — X, ]d{x„ — .r , ) -h ( r« — Ti ) " (n. — ri )

L'équation ^/S = o, qui exprime la condition du maximum, est, comme dans le problème précédent,

o = (iy\ ( x„ — x.,)-\rdy\[x, — x, ) H-. . .-f- dy„{x„^, — x,) — ^/x, {j\ — >•, ) — dx\ ( v, — )\ ) — . ..

— dx,.{y\-,—y;}.

Si l'on écrit l'équation (5) sous la forme

(7) A,c/x, H- A,</jCj-|-. . .-h A„ûf.a;„-hBi</j,-f-B2^//, -h. . .-h B„</r« = o,

il faut évidemment, pour que l'équation (6) en soit une conséquence, (jue les coefficients des in différentielles soient proportionnels dans l'une et dans l'autre, et les équations qui expriment le maximum sont par conséquent

j n — >'i ji — j-3 y\ — ^-4

ix/ft ■ 1X^2 oc \ ' .-1/3 tX j ' oc 1^

Si a^ est l'inclinaison sur l'axe desX du côté «p, et jS^, l'angle formé avec le même axe par la diagonale qui joint les points [Xp^ , r^., ), (.3?^+, , y^^, ), l'équation

devient, en y remplaçant A, et B, par leurs valeurs,

/ . sin a, — sin of„ ces 8,

ces a, — ces a„ sin p,

c'est-à-dire

cosp

ou enfin,

La direction déterminée par Tanglep, forme donc des angles égaux avec les côtés a„ et a, ; cette direction est celle de la base du triangle donta„ et a, sont les côtés, celui-ci est donc isocèle, et l'on a

on verra de même que tous les côtés sont égaux. En les regardant comme donnés, le problème rentre dans le précédent, le polygone doit donc être inscriptible dans un cercle, et est par conséquent régulier. On prouverait aisément que les équations dont nous n'avons pas fait usage expriment qu'en admettant l'égalité des côtés, les angles aussi doivent être égaux; mais il est inutile d'insister sur ces développements élémentaires qui ne peuvent offrir de difficulté.

Recherche de l' expression, déforme donnée, qui, entre certaines limites , s'écarte le moins possible d une fonction donnée.

488. M. Ttchebitcheff a appliqué la théorie des maxima et minima à la solution d'un problème très-intéressant en lui-même, et qui donne lieu à des artifices analytiques remarquables.

Une fonction (^{x) étant donnée, on propose de la représenter approximativement par une expression P de forme donnée, et contenant un certain nombre de paramètres qu'il faut déterminer par la condition que la plus grande valeur que prend entre des limites données la différence 9 (a?) — P s'écarte le moins possible de zéro.

Soient — ^ et H- A les limites données entre lesquelles reste comprise la variable X. Nommons L la plus grande valeur que prenne, entre ces limites, la différence 'f(^) — P, et supposons qu'elle réponde à ^ = ^, : il faut évidemment que 07 = ^, rende cette différence minima, à moins que ^, ne soit précisément l'une des deux limites — A et -1- A. Si donc on pose

x^ doit vérifier l'équation

et toutes les valeurs de a?, qui font acquérir à F (a;) sa valeur maxima ±:L, satisfont à l'équation (2). Si l'on désigne ces valeurs par ^r, , x^,..., x^, , elles sont solutions communes des deux équations

Soient/?,, l>i,...,pn-, les paramètres arbitraires qui figurent dans P, et'qu'il faut déterminer de manière à rendre L un minimum ; nous allons démontrer que les va-