LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

leurs de ces paramètres doivent être telles, que les équations du premier degré

''~d^^' dp. ^••■ + ^"^r' ~*^'^'^'

dpi (fpi dp,,

soient incompatibles et ne puissent être satisfaites par aucun système de valeurs de A( , /o , • . ., A„.

Supposons en effet que le problème soit résolu, et que l'on ait trouvé des valeurs (le/>,, p.2,.'., Pn , telles, que la fonction F (oc), égale à ±:L pour x = x,,3o = x.2,..., x = Xfj,, soit moindre que L pour toute autre valeur de x comprise entre les limites, et que pour toute autre valeur des paramètres, elle puisse au contraire surpasser L. S'il est possible de satisfaire aux équations (3), les conditions précédentes ne sauraient être satisfaites. Admettons en effet que F {x) devienne égale à =t L pour .X =x,, X = X2,..., x = X,,,, et qu'il soit moindre que L pour toute autre valeur de la variable. Je dis que l'on pourra changer les paramètres de manière à rendre le maximum de F [x) moindre que L : il suffira de remplacer />,, p^,--, p,n respectivement par/?, —) i(j) , p., — 1.2'ji,..., p„—l,t(ji , 'ù étant infiniment petit et positif. La variation infiniment petite de F (^) est en effet

dF[x). dY[x\. dV{x)^

/ 1 w — -j /.-i OJ — ... -. /„ w ,

dpt dp2 " ' dp,,

et pour x=:Xi , X = x.,,..., x = x„, elle se réduit, en vertu des équations (3), à

— F ( Jr ) &> :

elle est donc de signe contraire à la fonction, dont par conséquent la valeur absolue diminue. La valeur- absolue de F (^) diminuant pour^==a?,, et pour les valeurs voisines, devient plus petite que L; il est clair d'ailleurs que la fonction variant intiniment peu , elle reste aussi moindre que L pour les valeurs de ^, dont la différence avec .r, , a?^,..., ^a est finie; ¥ [jc] est donc, après la variation des paramètres, moindre queL, pour toute valeur de x comprise entre les limites—// et H- A, et par conséquent les valeurs/;, , p^,..., p^, qu'on leur avait attribuées primitivement, ne sont pas celles qui rendent le maximum de la fonction le plus petit possible.

Il est donc démontré que les équations ( 3 ) doivent être incompatibles pour que les conditions proposées soient satisfaites.

489. Appliquons les considérations qui précèdent à la solution du problème suivant : Trouver le polynôme de degré n de la forme

qui, entre deux limites données — A et +A, s'écarte le moins possible de zéro, c'est-à-dire dont la plus grande différence avec zéro ait la moindre valeur possible. En nommant L la plus grande valeur absolue de cette fonction, lorsque x varie de — Aà -t-A, les valeurs x^, x.i,...,x^, de ^, auxquelles correspond cette valeur L, satisfont aux deux équations

Le nombre p. de ces solutions communes est au moins égal à Ai -h i ; on a vu en effet que les équations

dp^ dpi dp,, ^

dp, '■'^~d^'''^---^^'d^'"-^ ^•^'''

dF{x^^)^ dV{x,.) dFixJ^

dp, dp^ dp,,

doivent être incompatibles. Or ces équations deviennent, quand on y remplace la fonction F par sa valeur:

\ ji.'"-' + A, X"' ' + . . . ^ A„ .r H- A„ = Y [x\.

Or un polynôme de degré n — i peut, par un cboix convenable des coefficients, prendre des valeurs données pour des valeurs données de la variable, en nombre égal ou inférieur an; les équations (4) sont donc compatibles toutes les fois que ^j. est moindre que n-\-i, et pour que le problème soit résolu il faut par conséquent que p. soit égal ou supérieur à /z+ i . Les solutions communes aux équations

sont nécessairement racines doubles de l'équation

(6) {X -hn[Y{xy—U]^o-,