XXXIV PRÉFACE

lacjiielle il suppose aux lettres qui y ligureut des valeurs imaginaires. Il ne s'agissait pas seulement pour lui de savoir si la formule de Newton reste exacte et représente encore (i 4-^)'", lorsque x et m sont imaginaires. Une telle proposition n'aurait aucim sens précis. La série, en effet, est complètement déterminée lorsque x et m sont donnés, et la fonction admet, d'après la définition, un nombre infini de valeurs ; quelle est celle qui représente la série? Abel résout complètement la question, préparant ainsi par l'étude d'un cas particulier difficile et important la théorie générale créée peu de temps après par Cauchy, et qui a pris rapidement une telle importance, que nous devons nous y arrêter particulièrement.

Pour comprendre la portée de cette théorie, il faut premièrement se former une idée nette du degré de généralité renfermé dans cette expression : une fonction imaginaire quelconque^ et ne pas se laisser égarer par l'analogie, très-trompeuse cette fois, avec une fonction réelle quelconque.

Nous avons une idée très-claire du degré d'indétermination que comporte cette expression, une fonction quelconque dUine variable réelle. Nous entendons que, pour chaque valeur de la variable, on peut choisir librement celle de la fonction, sans que le choix soit gêné par aucune autre condition que celle de fournir une suite continue représentant les points d'une courbe dont la forme reste arbitraire. L'analogie porte tout natm^ellemeiit à regarder une fonction imaginaire quelconque comme impliquant un égal degré d'indétermination et pouvant recevoir, pour une valeur donnée de la variable x=^a-\-^j \f — i , une partie réelle et une partie imaginaire arbitraires toutes deux, sans autre restriction que celles qui résultent delà condition de continuité. Si l'on prend, en un mot, a, |3 pour coordonnées d'un point ayant pour troisième coordonnée la partie réelle de la valeur correspondante d'une fonction arbitraire, on doit penser, à priori, que la surface décrite par ce point est entièrement arbitraire comme la fonction qui lui donne naissance ; mais il y aurait là une erreur grave. La condition d'avoir une dérivée déterminée équivaut en effet à deux équations qui sont imposées à la partie réçlle aussi bien qu'à la partie imaginaire d'une fonction quelconque, et que nous supposerons toujours satisfaites. L'existence de ces équations explique comment une fonction dont la définition n'est pas donnée peut avoir néanmoins des propriétés très-précises, et rend

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raison de l'existence des l)eanx tliéorèmes de Cauchy, qui seraient sans cela incompréhensibles. Nous nons l)ornons à indicjuer dans ce vohmne comment les valeurs infinies ou mal déterminées d'une fonction font connaître les limites en dehors desquelles son développement est impossible. Nous aurons à y revenir dans un autre volume, où l'emploi du calcul intéj^ral simplifiera les démonstrations en permettant de les compléter. Cette théorie est d'autant plus importante, que Lagrani^e affirme dans un ou vra-ge célèbre (jue le théorème de Taylor, loin de devoir être regardé comme une consé- (juence du calcul différentiel, doit être établi à priori et contient les vérita- .bles principes de ce calcul, dégagés de toute idée d'infiniment petit ou de limite. La démonstration donnée par l'illustre auteur, malgré l'autorité imposante de son nom, n'a pu être acceptée parles géomètres, mais on n'en doit pas moins admirer cette affirmation si formelle, quoique non justifiée, d'un principe qui, établi im demi-siècle plus tard sur des bases bien différentes, devait acquérir en même temps un degré de généralité auquel les partisans de ces idées ne songeaient pas même alors. En voyant combien d'explications délicates sont nécessaires pour fixer le sens et les limites du théorème de Taylor, on comprend qu'il tient à des vérités d'un accès trop difficile pour qu'on en puisse faire, comme l'avait voulu Lagrange, la pierre fondamentale de l'édifice : quelque élégante et facile que soit la doctrine à laquelle on est conduit en se plaçant tout d'abord aussi haut, les géomètres ne peuvent oublier que la précision des énoncés et la solidité absolue des preuves sont le caractère essentiel des sciences mathématiques, et si l'on est excusable de s'en écarter momentanément pour atteindre plus vite mi liut important, on ne saurait se montrer trop sévère lorsqu'il s'agit d'établir les bases d'une longue suite de théories.

Lorsque dans la série de Taylor on attribue à la variable une valeur imaginaire, elle se transforme en série ordonnée suivant les sinus et cosinus des multiples d'un même arc. Les séries de ce genre, si importantes aujourd'hui, ont été considérées pour la première fois par Daniel Bernoulli, qui par des procédés ingénieux, mais singulièrement hardis, et, il faut l'avouer même, bien peu rigoureux, a donné l'expression d'une constante, de la variable X, du carré et du cube de cette variable, en série de cette forme. Qu'il nous suffise de dire ici que le point de départ de la démonstration