LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
Cette formule est applicable à l'hyperbole et s'obtient par le même calcul dans lequel il suffit de changer b'^ en — è^ Elle est applicable aussi à la parabole. Soit en effet
f'^ — 'ipx = o
l'équation d'une parabole : on a
do d(D dx ^ dy d''(^ d^o fi?^cp
et par conséquent
dx^ dx dy dy^
^~ 8p' ~ p' ' La sous-normale étant égale à /?, y^ -\-p- est égal au carré de la normale, et l'on a
Rayon de courbure de lacycloïde. — Les équations de la cycloïde sont
X =:^a{u — sin a), y z=a{\ — ces u).
La formule la plus commode à employer est
__ [dx"" -\- dy^)^ .
' d^ydx — dyd^x '
elle donne après des réductions évidentes
p = — ia^xn - u.
La normale, comprise entre la courbe et le point de contact du cercle générateur
avec la base, est égale à 2a sin -m; le rayon de courbure de la cycloïde est 'donc
double de la normale.
Rayon de courbure de la spirale logarithmique. — L'équation de la spirale logarithmique est
on a, par conséquent,
dv d'r
La somme s + c peut évidemment être remplacée par ^.s, et l'on a enfin, pour expression de la partie principale de 5 — c,
/îo^
On voit, comme cela est évident à priori, que pour une même longueur de l'arc, la différence avec la corde augmente avec la courbure.
518. Différence entre l'angle d'une corde avec la tangente et la moitié de T angle de contingence. — En adoptant les notations du paragraphe précédent, l'angle formé
par la corde d'un arc avec l'axe des a?, qui le touche à son extrémité, a pour tangente ^ •
L'angle de contingence formé avec le même axe des œ, par la tangente à l'autre
extrémité de l'arc, a pour tangente -v^^ la différence de deux angles infiniment
petils pouvant être remplacée par celle de leurs tangentes, la différence que nous voulons évaluer est
on a
on en conclut
df
\ ds' /,
df
— Pi.
l ds'j.
)o 6 \ds' )
Il suffit à notre but de conserver dans les développements les termes qui contiennent 5^ en facteur; à ce degré d'approximation, les dénominateurs peuvent être remplacés par l'unité, et l'on a
dy s
dx 0,
po L^ \ ds^ /oj '
