LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Pour obtenir le point M' infiniment voisin de M sur la roulette, il faut faire mouvoir la courbe BOB' de telle sorte qu'un point 0<, infiniment voisin deO, vienne se placer sur un point O2, tel que 002 = 00,, et que les deux courbes soient tangentes l'une à l'autre en ce point commun. Or le mouvement que doit prendre pour cela la courbe mobile, et auquel participe le point M, peut être remplacé par deux autres, effectués successivement, savoir : une translation dans laquelle tous les points décrivent des droites égales et parallèles à 0, Oo, et une rotation autour du point O2, telle, que la normale OaN, vienne se placer dans le prolongement de la normale 0<No et tourne par conséquent d'un angle égal à celui des deux normales,

c'est-à-dire à la somme de leurs inclinaisons sur ON, -r— ' -f- — = 00, {-^ + -r- ) •

Soit MI la droite égale et parallèle à 0,02 menée par le point M, et IM' l'arc décrit de O2 comme centre, et correspondant à l'angle de rotation indiqué; M' est le point voisin de M, situé sur la roulette. La tangente à cette courbe est la limite de la direction MM', et comme MI est infiniment petit du second ordre, on peut, en substituant (13) le point I au point M, remplacer MM' par IM', corde infiniment petite de l'arc de cercle décrit de Oj comme centre, dont la limite est la tangente au cercle de centre 0 et de rayon OM. La normale à la roulette est donc MO. La démonstration s'appliquant à toutes les positions du point M, la normale voisine est M' O2, et le point de rencontre € de ces deux droites est le centre de courbure, et l'on a, en nommant p le rayon de courbure, et C l'angle des deux normales :

MM'

Calculons les deux termes de cette fraction en négligeant, comme il est permis, les infiniment petits du second ordre.

MiM' est l'arc décrit du point Oa, avec un angle égal à OO2 ( s- -^ ir ) > et l'on a, par conséquent, en remplaçant son rayon par OM, dont il diffère infiniment peu,

mm' = om.(ôô;)(i;; + i^^

On a, dans le triangle MCO2 ,

C = MO,M' — CMC,

mais

O.M' = 00.(jL + i-).

Si l'on nomme 9 l'angle formé par MO avec la normale ON, l'angle OjMO, sous lequel OOo est vu du point IM, est égal à