M = 2R, COS

et la formule donne

OM

p = ■ — — ^ =^ 2 OM

i j 1 2R, -hR,

Le rayon de courbure est, par conséquent, proportionnel à la normale OM.

Si le rayon du cercle fixe devient infini, celui-ci se réduit à une ligne droite, et l'épicycloïde à unecycloïde; la formule devient alors

p = 20M, ce qui s'accorde avec le résultat obtenu (505).

Courbure des lignes orthogonales.

507. Lorsque l'équation générale d'une série de courbes contient un paramètre variable, le nombre des courbes qu'elle peut représenter est infini comme celui des valeurs que l'on peut attribuer au paramètre, et il est possible, en général, de déterminer celui-ci, de manière à faire passer la courbe correspondante par un point donné du plan que leur ensemble recouvre entièrement. A cette première série, quelles que soient les courbes qui la composent, en correspond toujours une seconde, formée par des lignes qui coupent les premières a angle droit, et que l'on nomme leurs trajectoires orthogonales ; de telles trajectoires existent toujours, car les courbes du premier système étant supposées tracées et recouvrant le plan, chaque trajectoire orthogonale est la ligne suivie par un point mobile qui dirigerait à chaque instant son mouvement, normalement à celle des courbes du premier système sur laquelle il est actuellement situé. Chacune de ces trajectoires étant déterminée par un de ses points, leur équation générale contient un paramètre arbitraire.