LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
Soient
les équations (Je deux systèmes de courbes orthogonales, a, et «a étant les paramètres variables par rapport auxquels nous les supposons résolues : chaque point du plan peut être défini par les valeurs des paramètres a, et «a auxquelles correspondent les courbes qui s'y rencontrent, et ces deux paramètres peuvent remplacer les coordonnées orthogonales x et y. En adoptant ce système, si deux points infiniment voisins sont représentés par les paramètres a,, «j, «, -t-c?«, , 7.2 -h da^, le carré de leur distance est de la forme
et l'on a fl25
ds^ = Aid oc] -{- A2 d al ,
docA' /f/a,
dx / \ dy
doci dx
(do^y
Les courbes AA', CC, qui se croisent au premier des points considérés, et les courbes BB', DD' qui se croisent au second, forment un rectangle PQ P< Q, , dont ds est la diagonale. Les côtés PP^, PQ sont les distances correspondantes à la variation d'un seul paramètre et ont pour expression, la première dxt ^A,, et la seconde e/aaVAa-
Nous poserons, pour éviter les radicaux,
regardant t- et ^ comme des quantités essentiellement positives: d'après cela, -~
représente la longueur PP,, distance des deux courbes infiniment voisines qui correspondent aux paramètres a, et a, + 6/a, , et que nous désignerons par ds^ , parce qu'elle est comptée sur la courbe qui correspond au paramètre «a-
-^ représente de même la longueur PQ, distance des deux courbes représentées par les paramètres a., a^ + dv..; nous la désignerons par ds^.
Les fonctions h^ et Ao font connaître la loi suivant laquelle varie la distance de deux courbes infiniment voisines; si ces courbes correspondent en effet aux paramètres a, et a, +da^, en quelque point que l'on passe de l'une à l'autre, l'accroissement c?a, sera constant, et le chemin à parcourir normalement est par conséquent proportionnel à 7—
508. Les rayons de courbure des deux courbes qui se croisent en un point s'expriment élégamment, au moyen des fonctions h^, lu et de leurs dérivées.
Soient, en effet, AA', BB' deux lignes infiniment voisines correspondant aux paramètres a,, a, + c?a,, et CC la ligne du second système qui correspond au paramètre «2» et dont nous voulons calculer la courbure au point P où elle coupe AA'.
Cette courbure est égale à l'angle de contingence formé par les tangentes aux points P et Q, divisé par la longueur ds^ de l'arc PQ. On a, d'après ce qui a été dit,
, da.^
II
Si donc on nomme £ l'angle de contingence, le rayon de courbure pa est exprimé par la formule
P2 dcx.i
Il reste à calculer s ; or cet angle est formé par les normales respectivement menées en P et Q aux courbes AA' et BB' que PQ coupe toutes deux à angle droit : soit PI la première de ces normales, et I le point où elle coupe la courbe BB'; la distance QI est infiniment petite du second ordre, et l'on peut, dans le calcul de l'angle s, remplacer la normale en Q de la courbe B' par la normale en I qui forme
