LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 54i

avec elle un angle infininment petit du second ordre, e est, d'après cela, le complément de l'angle sous lequel la droite PI coupe la courbe BB'; or on sait (85j que si en chaque point d'une courbe on élève une normale, et que l'on porte sur elle une longueur constante /, le lieu des extrémités est une courbe parallèle à la proposée, et coupant toutes les normales à angle droit. On en conclut bien aisément que si la longueur / portée sur chaque normale varie d'un point à l'autre, un élément de de la courbe obtenue, et dont les extrémités correspondent aux longueurs /et l^dl portées sur deux normales voisines, formera avec ces normales

un angle dont le cosinus est -j- : dans le cas de deux courbes infiniment voisines

qui nous occupe ici, l'élément da peut être remplacé par l'élément correspondant ds, de la courbe AA' qui en diffère d'un infiniment petit du second ordre, et par conséquent l'angle infiniment petit e, que l'on peut remplacer par le cosinus

de son complément, a pour expression -i-; / est ici la distance PI, égale, nous l'avons dit, à -7^5 et <^/est l'accroissement correspondant à un changement infiniment petit de a^\ on a donc

d{''-^\ dU

a / = — -. doLi = aoci aai — j —

Le dénominateur dSf du quotient -i- est correspondant à la distance des deux courbes normales à AA' et correspondant aux paramètres «2 et «a -h c^aj; on a donc (125)

, doci dsi = -7— 5 'h

et par conséquent

on en conclut

dl , , "^[h i = -f- = iii a oc

dst doct

j ski . . \/iJ /h d h,

pi da.1 ' ^ da-i hxdoi.i''

on trouverait de même