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509. Ces formules assignent au rayon de courbure un signe qui, comme nous

^i^ PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

allons le voir, est lié au sens de la courbure. Considérons par exemple la formule

dxi

h, et Aa, définis par leurs carrés (507), sont regardés comme essentiellement positifs,

le signe de - est par conséquent celui de -~ ; ^ étant proportionnel à la distance

des courbes correspondantes aux valeurs a, et a, +û?a,, on voit que p^ est positif lorsqu'on parcourant l'une d'elles dans un sens tel que a^ augmente, on s'éloigne de la courbe infiniment voisine. Or deux courbes normales à une même courbe s'écartent l'une de l'autre lorsque leurs premiers éléments sont situés dans la région vers laquelle celle-ci tourne sa convexité. Nous pouvons donc énoncer la règle suivante;

En considérant la courbe qui correspond à une valeur donnée de a^ comme séparant les points du plan pour lesquels a^ est moindre de ceux pour lesquels il est plus grand que cette valeur donnée, le rayon de courbure p^ fourni par la formule trouvée est positif lorsque la courbure de la ligne est tournée vers la première de ces régions, elle est négative dans le cas contraire.