QQ,-PP
mais
donc enfin
- = /i, ^2 —— — -r- Oi dcx.1 aa
PP, = ^, PQ = ^, Il 1 112
I QQ. — PP, p,~" PQ.PP,
La courbure de l'arc PP, est égale à la différence des côtés opposés divisée par la surface du rectangle.
Lorsque les lignes du second système sont droites, - est nul, et l'on a par conséquent QQ,=PP, ; on sait en effet que des courbes normales aux mêmes droites (85^ interceptent sur deux quelconques d'entre elles des longueurs égales.
511. Les expressions trouvées pour les rayons de courbure conduisent à un théorème remarquable relatif à la loi de variation des courbures dans un système quelconque de courbes orthogonales.
Soient, comme au paragraphe précédent, AA', BB', CC, DD', quatre courbes infiniment voisines formant le rectangle infiniment petit PQ P, Q,, et correspon-
dant aux valeurs a,, a, ^ rfa,, aj, a^+da.^ des deux paramètres.
^ii PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Soit, en outre, p, le rayon de courbure de AA' et p^ celui de CC au point P; d<x, etda^ étant supposés positifs, la figure est telle que, d'après nos conventions, /3, et /Sa sont l'un et l'autre positifs.
Soit PT la tangente à AA' au point P, et d l'angle qu'elle forme avec l'axe des X positifs; on a, d'après nos conventions.
on aura de même
or on a
Pi PQ ' d (Xi
i , dQ
Pj ' d a,
par conséquent
d ai diX2 d iXi d ,
ou
d X, d cK-2
} Pi J p. l fh l Ai
/ij dat h\ d oL-i pi d oLi p^ da^
En multipliant cette équation par A, Aa» en ayant égard aux valeurs de - et de - ,
Pi pï
elle devient
ht -j^ -h /h -j^ -\- -^ -h ~ = o-, d<xi doc, p; pi
-j^ est l'arc infiniment petit PP, et -P l'arc PQ ; en les désignant par ds^ et par ds^ , on a enfin
rfi dl
Pl p2 I I
ds> dsi p\ pi^
Cette équation a été découverte par M. Lamé.
Quoique la démonstration précédente fixe nettement le sens qu'il faut attacher
dl. d'~ aux quotients -^ ? -^ , il est peut-être utile de l'indiquer explicitement.
Ces quotients ne sont pas en effet des dérivées et ne peuvent évidemment pas en être, car il n'existe pas de variables ^,, s^, dont p, et p^ soient fonctions. Dans
