LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

le i-aDDort -^^ d- est l'excès de la courbure de QQ, au point Q sur celle de PP, au

^^ ds, Pi point P, et ds^ est l'arc infiniment petit PQ qui mesure la distance des deux courbes;

-p- a une signification analogue.

512. L'équation précédente ayant une grande importance, nous en donnerons une seconde démonstration plus exclusivement géométrique.

Soit, comme précédemment, PQP,Qn le rectangle infiniment petit formé par les courbes des deux systèmes qui correspondent aux paramètres a,,«, -^-da^ ,

aa, y..i -f- da^ : menons par chacun des points P, Q, P^Qi des tangentes aux deux côtés qui s'y croisent, nous formerons un octogone PIQO'Q,rP,0, dans lequel la somme des huit angles est égale à douze angles droits, et comme les angles en P, Q, V^, Q,, sont droits, la somme de ceux qui ont leurs sommets en 1, 0, T, 0', est égale à huit droits; or en nommant £,, c, + c^s, les angles de contingence des arcs P Q, P.Qi. £2» s. -+-^£2 ceux des arcsPP,, QQ, , on a, en désignant les angles de l'octogone par les lettres placées à leurs sommets,

et, par conséquent, l'équation

équivaut à

(i) ^^^ — t/e, — ûf£, = 0.

Les différentielles di^, di., se rapportent, la première à l'accroissement c?a, du paramètre «,, et la seconde à l'accroissement c^aadeaa- On a évidemment

PQ

, ^ PP

oi6 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et, par conséquent, l'équation ( i ) peut s'écrire