LIVRE TROISIÈME. - VPPLICVTIONS GÉOMÉTRIQUE S

on remplaçant — et - par leurs valeurs ,

elle devient

0, a OL,

'It

lu ,^ — -h h, j ^h\lr, \ -j— / ^ h: h; \ —— / = o ,

d OLi doLi ^ ' \dy.J ' \da

OU, en effectuant les différentiations,

/., W/J , A,/, rfA, , dh\ ,,, lu , \hj 1 , dh: , d/h\

d y.; dy, \ dx. douj da{ d y, \ dx^ dx,/

on a identiquement,

\dy,/ \dyj

,^/ludlu^j^.^^A'^lu

da^ d y^ ' ^ \ dy^ /

,, h, diu ,/.,,( /'. I dy^ dyi \dy./

et l'équation se réduit, en supprimant le facteur A, h^, à , , , lii , lu dIu lu, dlh li>

il) fu --4 + lu -j^ -h -, — 7- +-r- ;?—=="'

d X] dx^ d X, dx, ûx, axi

ou enfin,

J' ,- f/' 7Î- d^d^ dj-dj-

(o) h,-^^fi^-^^ h;—. j II',-. ^— = 0.

ay; dxi dx^ «a, dy.i ily,

514. Les fonctions tÎ- et -^ faisant connaître (507) la loi de variation de la dis-

//, ht ^

tance entre deux courbes voisines appartenant à un même système, on comprend que l'équation (8), qui a lieu entre ces fonctions et leurs dérivées, exprime implicitement la loi suivant laquelle peuvent varier les côtés des rectangles infiniment petits dans lesquels un plan peut être décomposé par deux systèmes de lignes orthogonales. Pour obtenir cette loi explicitement, il suffira de remplacer dans la formule

j- ei Y P^ï" l^ur expression en fonction des côtés infiniment petits de ces rectangles. Représentons-nous sur le plan la série des lignes de l'un et l'autre système correspondant aux valeurs «,, «^ des paramètres, et à celles que l'on obtient en leur attribuant une série d'accroissements infiniment petits, égaux à <^«, pour le premier, et à da^ pour le second.

Nommons x etj les côtés PQ, PP, du premier rectangle, et convenons de représenter par le signe d la variation qui correspond à l'accroissement «/a, de «, , c'est-à-

dire à un déplacement effectué sur les lignes PP^ QQ,,--» et par le signe ù celle qui, correspondant à l'accroissement doL^ de «a, exprime un déplacement effectué sur les lignes de l'autre système. On a (507)

X = PQ = -j— 1

dx, j=PP. = ^,

, d [daA j , , hz

dx = -; — —, — «a, = «a, itcf.i -, — > aoi.x\ lu j cl of.i

d [dot.x\ , . „ /t,

^•^'=^Urr^'=^^'^

d [ daA J ,\ Ih

àx =■— — I —, — I ««2 = «a;

dai\ lii j '' da.7

^ d (da\ II,

^ doc2 \ hi J dc/.i

di-

ri I

d'^x = -7— Idx) dcXi = da^ da, ■ , / doci ' da]

ô'r=-7 — (àr) doCi = dcx, dal , ./• " . doci^ '' dy.[