OM R

MM'

„ . /0M\~^, /OM Rsm (— j Rlang \^-^

c'est précisénient (543) l'expression de la courbure du petit cercle dont (5M est le rayon sphérique.

Diverses expressions de la courbure géodésiquc d'une ligne sphérique.

546. Adoptons pour coordonnées d'un point M de la surface de la sphère, l'arc 6' qui mesure la distance de ce point à un point fixe 0, et l'angle ^, formé par l'arc I. 73

S78 PlVEAlIÈRfi PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

(le graad cercle OM avec un grand cercle donné passj^nt par le point 0. Ces coordonnées, analogues aux coordonnées polaires sur un plan, sont équivalentes aux coordonnées géographiques que l'on nomme longitude et latitude. Nous avons trouvé (121) que, dans, ce système, en prenant, commenousie ferons ici, le rayon de la sphère pour unité, la distance de deux points infiniment voisins qui ont pour coordonnées ^, •]/, 5 4- dO , .{; -h «-/^j/, a pour carré,

^/ô^ + sin2 9^/J>2.

Cela posé, soit AB une courbe représentée par une équation entre 0 et vp, et MM' un arc infiniment petit pris sur cette courbe à partir du point M ; calculons la courbure géodésique de cet arc MM'.

Si par les points M et M' on mène des arcs de grand cercle MF, M'I, tangents à MM', et se coupant en 1, en nommant i l'angle formé par ces arcs, la courbure géodésique cherchée est

MM'

Or on a, comme nous venons de le rappeler.

(i) MM' = dfj--\-s\\\'^d^'-

Mais en nommant V l'angle OMA, on a (93)

{ 2 ) * lang V ^^^ siii S ^J ;

la surface du quadrilatère OMIM' est mesurée par l'excès de la somme de ses an^^les sur quatre angles droits, et l'on a

OMlM'=^/(]; — £-+-,/ V,

•et par conséquent

(3) £ = ^/4/ + ^V — 0\IIM'„

mais l'équation (:2) donne

... d.\%\\\^.—— ( 4 ) dy = d arc lang sin Q -j^ ] = ^^ -—J.

\ " ^ / . . r. I d'il

i + sm'0. — ^

d ^'\ ~dQ

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