LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Les équations de deux droites voisines étant, en effet,

y= bz + q,

xr=(a + Aa)2 -l-p-f-A/7,

leur plus courte distance est, d'après les formules de la géométrie analytique,

le dénominateur est toujours du premier ordre, le numérateur, en général, du second, et par conséquent la plus courte distance est, en général, du premier ordre, et il n'existe pas de courbe à laquelle soient tangentes les droites données.

Mais le numérateur de la plus courte distance peut, dans certains cas, être infiniment petit d'ordre supérieur au premier, et les droites sont alors tangentes a une même courbe. Nous allons prouver que, dans ce cas, il est précisément du quatrième ordre, et que, par suite, la plus courte distance est du troisième.

On a en effet (276)

Aa = f/a + -f/'«+ 7^ fi?'rt + .. . , 2 6

ùs.b = db+-d^b + ~d'b-^...,

^g-=(fq-^^d'q-^'^d'q+..., et par conséquent,

AaAq—\bAp = {dadq — db dp)-\- - {d'adq + d^qda — d'bdp — d^p db)-{-. . .,

les termes que l'on n'écrit pas étant d'ordre supérieur au troisième; or il est clair que le second terme du second membre est la différentielle du premier. Si donc celui-ci est nul, l'autre l'est également, et il ne reste dans l'expression du premier membre que des termes du quatrième ordre au moins. Il est aisé de prouver en outre que le terme du quatrième ordre ne disparaît jamais, si ce n'est dans le cas des courbes planes, où la plus courte distance de deux tangentes est rigoureusement nulle; les termes du quatrième ordre sont, en effet,

^{d'adq -f- d'qda — d'b dp — d'pdb)-\- j [dUid' q — d'bd-p).

g06 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Supposons que leur somme soit égale à zéro; on a, par hypothèse,

(2) d''adq+ d'qda — d^bdp — d^pdb=^o, qui donne par h\ différentiation,

(3) d^adq-hd'qda — d'bdp--d'pdh = 9.d^bd'p — 'id'ad^(].

D'après cela, la condition pour que la somme des termes du quatrième ordre soit

nulle est

d'ad'q — d'bd'p = o,

OU

Cette équation exprime que la courbe est plane. Les équations (3) (572) donnent en effet par la différentiation

d^p=^ — zd-a — dadz, d^q = — zd'^b — dbdz,

et l'équation (4) devient ainsi

d'à d^b da db

OU

d.lda = dldb,

Ida et Idb ont par conséquent une différence constante, et le rapport ^ est constant. En le désignant par ^, on a

da = kdb , donc

(5) a = hb-\-l,

l étant une constante.

Cette équation exprime que les droites sont parallèles à un même plan, et il est clair qu'elles ne peuvent alors être tangentes à une courbe que si elles sont situées dans un seul et même plan. C'est ce que l'on peut d'ailleurs prouver analytiquement en remarquant que dx, dy et dz sont proportionnels à a, 6 et i , et que l'on a par conséquent ( 6 ) dx z=z kdy -\- Idz ,

d'où l'on déduit

N désignant une constante. L'équation (7) représente un plan dans lequel est située la courbe, lieu des points oc, y, z.

Équation du plan osculateur.

574. Les équations d'une courbe étant connues, il est facile de trouver celle du plan osculateur en un de ses points. Soient x,y, z, les coordonnées du point considéré; t, II, V, celles d'un point quelconque du plan osculateur: celui-ci, passant par le point X, y, z, a une équation de la forme

Pour déterminer A, B, C, exprimons que la distance dé ce plan au point M' de la courbe infiniment voisin de M, est un infiniment petit du troisième ordre; en nommant .27+ A^, j+Aj, s-f-Az les coordonnées de ce point M', sa distance au plan a pour expression

AAjt + BAr + CAz

et comme A, B, C sont des quantités finies, il suffit d'exprimer que le numérateur est nul quand on néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au second. On a, dans cette hypothèse (276),

\x =^ dx -\ — d'^ X ^

(2) Aj = û(;r-4- - ^^r,

Az = û^3-f-- d^z,

On doit donc avoir, pour que les termes du premier ordre disparaissent,

(3) Ai/^H-Brf7-l-Crfz = o,

et pour qu'il en soit de même de ceux du second^

(4) A^/'.r + Bc/'j-hC</^2 = o.

On déduit des équations (3) et (4)

' dyd^z — dzd^'y dzd-x— dxd^z dxd\r — dyd-x

A,B, (] peuvent être remplacés dans l'équation (1) par les expressions auxquelles

608 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉREiNTIEL.

ils sont proportionnels, et l'équation du plan osculateur est, par conséquent,

(6) {t—x){dyd'z--dzd^y)-\-{H — r){dzcV-x — dxd'z) + [v — z){dxcl'X—dy'd'x) = o.

Le choix de la variable indépendante, qui reste arbitraire, exerce évidemment une influence sur les termes de cette formule, mais sans rien changer toutefois au résultat final.

575. Pour donner une application de la formule précédente, nous chercherons le plan osculateur de l'arête dé rebroussement d'une surface développable donnée : nous savons (571 ) que ce plan est précisément le plan tangent de la surface, et ce résultat connu, obtenu de nouveau à l'aide de nos formules, leur servira de confirmation.

Soit

l'équation d'un plan mobile dans laquelle a désigne un paramètre variable; la surface développable, enveloppe de ce plan, est représentée par l'équation (i) combinée avec sa dérivée par rapport à a,

et l'arête de rebroussement de la surface par les deux équations (i) et (2) auxquelles on adjoint l'équation

(3) x<^"{a)-\-yY [y^]-^ zY" [y.) = vi" (a),

dérivée de la seconde par rapport à a.

Pour trouver le plan osculateur de la courbe représentée par les équations (i), (2), (3), il faut déduire de ces équations, dx, dy, dz, d'^x, d'^y, d-z, afin de les substituer dans l'équation du plan osculateur. En différentiant deux fois l'équation (i), les termes qui proviennent de la variation de « disparaissent à cause des équations (2) et (3), et l'on a /

dxQ{o(.)-^dy'^[y.)-irdzY {y.) — o,

dxd^y — dyd-x __ dyd'z— dzd-y dz d^x — dx d'z

F (a) ~ o{a) ' ~ ÔTÎT) '

et l'équation du plan osculateur est par conséquent

( / — ^ ) F ( a ) -t- I « — j. • ) cp ( a ) 4- ( t- — 2 ) A ( a ) = o ,'