LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
Les formules (i) deviennent par conséquent
d cos a
cos /. = p
ds
cos a =^ p
dcos [3 ds
COS V = p
d cos y ~ds~
588. Il importe de distinguer sur la normale principale les deux directions opposées. Les formules précédentes se rapportent à la droite qui, partant de la
courbe, se dirige vers le centre de courbure. ^, ^^. ^ sont en effet les cosinus
des angles formés avec les axes par la tangente considérée comme se dirigeant du point de contact vers le point infiniment voisin qui correspond a un accroissement positif de l'arec. Si donc M et M' sont deux points voisins, et que les arcs soient comptés d'une origine A, les droites OP, OP', considérées dans la démonstration,
sont parallèles à MT et M'T', et dirigées dans le même sens, et la ligne qui réunit le point P au point P' est évidemment dirigée dans le même sens que la normale principale qui se dirige du point M vers le centre de courbure.
Si les arcs étaient comptés en sens opposés, l'accroissement MM' de l'arc s étant
négatif, les directions définies par les cosinus -^5 i' Js changeraient de sens,
et il en serait de même des lignes OP, OF, et la ligne PP', cbangeant de sens, serait dirigée en sens contraire du rayon de courbure qui, dans ce cas, forme avec les axes des angles dont les cosinus sont désignes contraires à c?cosa, c?cos/3, ^cosy; mais comme, dans le cas actuel, ds est négatif, ces cosinus restent représentés, en valeur et en signe, par
d cos a d cos [3 d cos y ds ds ds
Expression de la seconde courbure.
589. La seconde courbure d'une courbe est le rapport de l'angle de deux plans osculaleurs infiniment voisins à l'arc infiniment petit qui sépare leurs points de con-
tact; si l'on nomme c, v, Ç les angles formés par l'axe du plan osculateur avec les axes de coordonnées
y dxd'r — drd'x
ces l = ^ ■- ,
(l) • cos-j = -- ^,
dzd\T — dxd^ z
cos'C=:
en posant
■2) D= \/{da:d\r—dfd'xy-\-{dxd\z — dzd'fy-h{dzd'x — dxd'zy,
m a, d'aprc courbure p ,
et, par conséquent,
dxd'^y^ — dyd^x
CCS i = p
on a, d'après l'une des formules qui donnent (584) l'expression du rayon de
4) cosu = p
ds^
dyd^z — dzd^f d?
cos t. = p dzd^x — dxd^z ds''
L'angle de deux plans osculateurs est égal à celui des droites qui leur sont normales : si donc par l'origine des coordonnées on mène des parallèles aux axes de deux plans osculateurs infiniment voisins et que, sur chacune d'elles, on porte une longueur égale à l'unité, la distance des points ainsi obtenus mesurera l'angle rt des deux plans osculateurs. Les coordonnées des deux points étant évidemment
COSç, cos-j, cosî^,
CCS ;-|-fl?COsH, COS'J + rfcOSu, CCS Ç -h t/ COS C,
on a
(5) T, = \J{dcosiy-\-[dcosvy^{d ces l Y •
Si la seconde courbure est représentée par -, on a par définition
/• ds
et, par conséquent,
, . ^ ( dcos iy-{-{dcosny -^-[d ces ^
^"' r^~ ds^
