Appliquons ce qui précède à quelques exemples. Soit

on'en déduit

La dérivée de la fonction ^"' par rapport à x est donc l'inverse de la dérivée de

y" par rapport à j, c'est-à-dire — ^,' et en remplaçant y par sa valeur, cette

dérivée est — ;^z:7' c'est-à-dire -.r'"

mx '"

Ainsi la dérivée de x "' est ^^x'" ' m étant un nombre entier quelconque.

Soit encore " *

X =sin J-;

on en déduit

y= arcsin^.

La dérivée de an' sin a- par rapport à x est donc l'inverse de celle de sin y par rapport à y, elle est donc » c'est-à-dire ---, •

En posant

X = ces )•,

db I on verrait de même que la dérivée de arc cos x est r-^^-y

Ce résultat, qui est fort important, exige quelques explications.

La fonction sin x est une. fonction bien définie, c'est-à-dire que, pour chaque valeur de x, sin x a une valeur unique et déterminée : il n'.en est pas de même de la fonction arc sin x. Car, à un même sinus, correspondent un nombre infini d'arcs différents; si a désigne l'un d'entre eux, les autres sont compris dans les formules 2K7:-ha et (iK+ i)t:— y., K étant un entier arbitraire, et l'on conçoit

dès lors que l'expression générale de leur dérivée doit avoir le signe db. Si d'ailleurs on considère en particulier l'un des arcs compris parmi ceux que représente l'expression arc sin x, la détermination du signe de la dérivée sera toujours facile. En posant, en effet,

.r=:sinr,

la dérivée de j par rapport à x est -? et il n'y a dans cette expression aucune

ambiguïté. Le signe ± se présente seulement lorsqu'on remplace cos y par -j- y/i .27% et l'on voit que le signe du radical doit être ceflui de cos y. De même,

en posant

X = cos r,

et la dérivée de y par rapport à a; est -. — » c'est-à-dire ,"^ -,; le signe de l'ex-

pression étant contraire à celui de sin j.

En posant

X = lang )•,

on a

j=: arc t.ang.r.

Donc la dérivée de j par rapport à a? est