ÉTUDE DES NORMALES A UNE MÊME SURFACE

lin existe pas ^ en général, de surface normale aux droites d' un faisceau.

646. La disposition dans l'espace des normales à une même surface est soumise à des lois nécessaires dont l'existence même est loin d'être évidente à priori. L'habitude de transporter, par analogie, à la géométrie à trois dimensions, les résultats de la géométrie plane, conduirait au contraire à penser qu'il n'en doit exister aucune. Quelle que soit, en effet, la loi suivant laquelle des droites se succèdent dans un plan, de telle sorte seulement qu'il en passe une par chaque point du plan, il existe toujours des courbes qui les coupent à angle droit. La condition d'être normales à une même courbe n'impose donc aux droites d'un faisceau aucune condition particulière; mais on commettrait une erreur grave, dans laquelle sont tombés d'habiles géomètres, en en concluant par analogie que des droites se succédant dans l'espace suivant une loi telle, qu'il en passe une par chaque point, peuvent toujours être coupées orthogonalement par une même surface. Elles doivent, pour qu'il en soit ainsi, remplir des conditions très-précises, à l'étude desquelles est consacré ce chapitre.

647. Nous commencerons par montrer que des droites se succédant suivant une loi quelconque ne sont pas, en général, normales a une même surface.

Considérons, en effet, un faisceau tel, que par chaque point de l'espace passe une des droites qui le composent, et soit AB l'une quelconque de ces droites. Supposons, s'il est possible, qu'une surface S, normale à toutes les droites du faisceau, coupe AB en M, cherchons en quel point cette surface S rencontrera une autre ligne A'B' appartenant au faisceau , et située à distance finie de AB. Réunissons pour cela, par une courbe arbitraire C, un point de AB avec un point de A'B', les droites du faisceau qui rencontrent la courbe C forment une surface réglée 2 dont les génératrices sont, par hypothèse, normales à la surface S; l'intersection des surfaces S et 2 est par conséquent une courbe passant par le point M, et située sur la surface réglée 1, dont elle coupe à angle droit toutes les génératrices, et comme une telle définition la détermine complètement, le point M' où elle rencontre A'B' est lui-môme déterminé, et ce poînt M' est évidemment l'intersection de A'B' avec la surface inconnue S. Mais la courbe C qui réunit les droites AB et A'B' étant arbi-